¿Cuál es la respuesta de frecuencia más aguda para un filtro de paso bajo no causal cuya respuesta escalonada no se sobrepasa?

Los filtros de paso bajo Butterworth, Bessel, Chebychev y sinc se usan en varios casos en los que existen diferentes compensaciones entre tener una respuesta de frecuencia decreciente uniforme, una respuesta de fase uniforme, un corte abrupto o una respuesta de "pared de ladrillos". Creo que todos estos filtros pueden, en algunos casos, tener un exceso en su respuesta escalonada, lo que significa que su respuesta al impulso es negativa en algunos lugares.

¿Cuál sería la respuesta de frecuencia óptima, o qué tipos de respuestas de frecuencia estarían disponibles, en un filtro cuya única restricción era que la respuesta de impulso no podía ser negativa en ningún lugar? Ciertamente, es posible tener un filtro de paso bajo que cumpla dicha restricción, ya que un filtro RC básico lo hará (aunque la respuesta de dicho filtro es un poco desagradable). ¿La respuesta de impulso óptima sería una curva de distribución normal o algo más?

filter dsp

— Super gato
fuente

@supercat, si incluye el filtrado digital, es bastante sorprendente cómo la respuesta de la pared de ladrillos se puede obtener sin excederse.

— Kortuk

@Kortuk: ¿En serio? Creo que sería difícil evitar el sobreimpulso, ya que una onda cuadrada con filtro de pared de ladrillo tiene pequeños picos cuyo ancho se aproxima a cero a medida que aumenta la frecuencia de corte, pero cuya amplitud no. ¿Cuál sería una buena referencia?

— Supercat

Dices "no causal" en la pregunta, pero todos tus ejemplos son causales. ¿A qué te refieres? No causal requiere que grabe la forma de onda completa y luego aplique el filtro a la grabación. (O, tal vez, el uso de condensadores de flujo y grandes fuentes de energía)

— Endolito

@endolith: ¿Cuál sería el filtro óptimo, suponiendo que no se requiera que sea causal?

— supercat

@Kortuk: Recortar la señal a cero aniquilará por completo cualquier beneficio del filtrado. Y mientras estoy publicando en DSP, también tengo curiosidad por cosas como las grabadoras de audio (desde un aspecto intelectual en lugar de práctico) donde uno puede hacer cualquier función de impulso no negativo que desee, sujeto a una restricción de ancho.

— supercat

Respuestas:

Voy a listar un montón de "filtros que no se sobrepasan". Espero que encuentre esta respuesta parcial mejor que ninguna respuesta. Esperemos que las personas que buscan "un filtro que no se sobrepase" encuentren útil esta lista de dichos filtros. Quizás uno de estos filtros funcionará adecuadamente en su aplicación, incluso si todavía no hemos encontrado el filtro matemáticamente óptimo.

filtros causales LTI de primer y segundo orden

La respuesta escalonada de un filtro de primer orden ("filtro RC") nunca se sobrepasa.

La respuesta escalonada de un filtro de segundo orden ("biquad") puede diseñarse de manera que nunca se sobrepase. Hay varias formas equivalentes de describir esta clase de filtro de segundo orden que no se sobrepasa en una entrada de paso:

está críticamente amortiguado o está sobreamortiguado.
No está subamortiguado.
la relación de amortiguamiento (zeta) es 1 o más
el factor de calidad (Q) es 1/2 o menos
el parámetro de velocidad de desintegración (alfa) es al menos la frecuencia angular natural no amortiguada (omega_0) o más

En particular, una topología de filtro Sallen-Key de ganancia unitaria con condensadores iguales y resistencias iguales está amortiguada críticamente: Q = 1/2, y por lo tanto no se sobrepasa en una entrada escalonada.

Un filtro de Bessel de segundo orden está ligeramente amortiguado: Q = 1 / sqrt (3), por lo que tiene un pequeño exceso.

Un filtro Butterworth de segundo orden está más amortiguado: Q = 1 / sqrt (2), por lo que tiene más sobreimpulso.

De todos los posibles filtros LTI de primer orden y de segundo orden que son causales y no se sobrepasan, el que tiene la "mejor" (más pronunciada) respuesta de frecuencia son los filtros de segundo orden "críticamente amortiguados".

filtros causales LTI de orden superior

El filtro causal de orden superior de uso más común que tiene una respuesta de impulso que nunca es negativa (y por lo tanto nunca se sobrepasa en una entrada de paso) es el " filtro de promedio móvil ", también llamado "filtro de vagón" o " filtro de promedio móvil ".

A algunas personas les gusta ejecutar datos a través de un filtro de furgón y la salida de ese filtro a otro filtro de furgón. Después de algunos de estos filtros, el resultado es una buena aproximación del filtro gaussiano. (Cuantos más filtros conecte en cascada, más se acercará la salida final a un gaussiano, sin importar con qué filtro comience (vagón, triángulo, RC de primer orden o cualquier otro) debido al teorema del límite central).

Prácticamente todas las funciones de ventana tienen una respuesta de impulso que nunca es negativa, por lo que, en principio, se pueden usar como filtros FIR que nunca se sobrepasan en una entrada escalonada. En particular, escucho cosas buenas sobre la ventana de Lanczos , que es el lóbulo central (positivo) de la función sinc () (y cero fuera de ese lóbulo). Algunos filtros de forma de pulso tienen una respuesta de impulso que nunca es negativa, por lo que pueden usarse como filtros que nunca se sobrepasan en una entrada de paso.

No sé cuál de estos filtros es el mejor para su aplicación, y sospecho que el filtro matemáticamente óptimo puede ser un poco mejor que cualquiera de ellos.

filtros causales no lineales

El filtro mediano es un filtro no lineal popular que nunca se sobrepasa en una entrada de función escalonada.

EDITAR: filtros no causales LTI

La función sech (t) = 2 / (e ^ (- t) + e ^ t) es su propia transformada de Fourier, y supongo que podría usarse como un tipo de filtro LTI de paso bajo no causal que nunca se sobrepasa en un paso de entrada.

El filtro LTI no causal que tiene la respuesta de impulso (sinc (t / k)) ^ 2 tiene una respuesta de frecuencia "abs (k) * triángulo (k * w)". Cuando se le da un paso de entrada, tiene mucha ondulación en el dominio del tiempo, pero nunca sobrepasa el punto de asentamiento final. Por encima de la esquina de alta frecuencia de ese triángulo, ofrece un rechazo perfecto de la banda de detención (atenuación infinita). Entonces, en la región de banda de detención, tiene una mejor respuesta de frecuencia que un filtro gaussiano.

Por lo tanto, dudo que el filtro gaussiano proporcione la "respuesta de frecuencia óptima".

En el conjunto de todos los posibles "filtros que no se sobrepasan", sospecho que no hay una sola "respuesta de frecuencia óptima": algunos tienen un mejor rechazo de banda de detención, mientras que otros tienen bandas de transición más estrechas, etc.

— davidcary
fuente

Gracias por su respuesta. Me había olvidado de restringir mi pregunta a los filtros lineales, aunque, por supuesto, caracterizar la respuesta de frecuencia de un filtro no lineal puede ser una propuesta poco clara. Como se señaló, el filtro de vagón en cascada hace que se acerque a un gaussiano. Me preguntaba si el filtro gaussiano tiene la respuesta de frecuencia óptima que se puede obtener sin sobreimpulso. Al escribir la pregunta, estaba pensando en varios procesos analógicos que realizan algo así como un filtro definido de impulso-respuesta, por ejemplo, desenfocar la cámara o mostrar píxeles para minimizar el alias.

— supercat

Es posible construir una cámara para que cada píxel capte cantidades variables de luz de varios puntos alrededor del centro. Idealmente, una cámara filtraría todo por encima de Nyquist sin difuminar nada debajo, pero en la práctica no es probable que suceda.

— supercat

LTI? Nunca lo defines. Agregar que significa "invariante lineal en el tiempo", probablemente sería útil.

— Connor Wolf el

¿Entonces Q = 0.5 está críticamente amortiguado? Para un orden dado, ¿hay múltiples sistemas que estén críticamente amortiguados? La biquad con Q = 0.5 se llama filtro LR2 Linkwitz-Riley . Sin embargo, parece que las versiones de orden superior del filtro LR están sonando en la respuesta del paso.

— Endolito

"la conexión en cascada de filtros con amortiguación crítica dará como resultado otro filtro con amortiguación crítica" ¿Entonces, simplemente mantenga los polos de descarga en -1 y siempre tendrá una amortiguación crítica? (¿Y acercarse a una respuesta de filtro gaussiano a medida que aumenta el número?)

— endolito

La mayoría de los filtros utilizados en el mundo digital son solo versiones muestreadas de la contraparte analógica. Una razón importante para esto es que hubo mucho trabajo realizado en el filtrado analógico antes de que apareciera el digital, por lo que en lugar de reinventar la rueda, la mayoría solo usaba diseños anteriores. Sin embargo, la ventaja de lo digital es que se puede lograr un filtro de orden superior mucho más fácil que en el mundo analógico. Solo imagine un circuito complejo cada vez que agrega otro orden al diseño.

Si está buscando un filtro de tipo de pared de ladrillo, la curva gaussiana es un buen lugar para comenzar. Si conoce el dominio de tiempo <-> dominio de frecuencia; un gaussiano se transforma en un gaussiano en el otro dominio. A medida que se enrolla en uno, se estrecha en el otro. Entonces, para obtener un pico perfecto en el dominio de frecuencia, necesitaría una cantidad infinita de muestras.

Si tiene Matlab disponible para su uso, debe consultar algunas de las herramientas de diseño de filtro incorporadas. Aquí hay un enlace que habla sobre Butterworth y Bessel . Las herramientas de diseño le permiten especificar ciertos aspectos del filtro. Estos aspectos cambian para cada tipo de filtro, pero algunos ejemplos son Passband, stopband, ripple, etc. Si le da al diseñador las restricciones que desea, le dará un error (lo que significa que no puede hacer ese filtro con ese tipo de filtro). ) o le dará un filtro con el pedido mínimo requerido para cumplir con las especificaciones.

— Kellenjb
fuente

Un gaussiano cumple con el requisito de una respuesta de impulso no negativa, pero no es una gran pared de ladrillos. Por otro lado, Butterworth, Bessel y Chebyshev tienen oscilaciones sinc en su respuesta al impulso, lo que lleva a un sobreimpulso. De esos, el filtro Bessel tiene el menor sobreimpulso ya que tiene un retraso de grupo casi plano (fase lineal) en la banda de paso.

— Eryk dom

Aparte del gaussiano, estos filtros son causales. Para el procesamiento fuera de línea, una fase lineal NNFIR (FIR no negativa) funcionaría bien, o puede cancelar la distorsión de fase de un filtro recursivo causal mediante el uso de la técnica filtfilt ... Por supuesto, todavía necesita una forma de diseñar un LPN NNIR para evite el sobreimpulso / subimpulso. Sugerencias a alguien? Referencias

— Eryk dom

@eryksun, como nota al margen, si va a oscilar a 1.05 veces el valor máximo, simplemente humedézcalo para que se detenga en 1.00 y su respuesta de paso será un poco menor, como .96 cuando sea estable. Problema resuelto.

— Kortuk

@Kortuk: Problema resuelto en el dominio del tiempo, pero hacer ese recorte no solo no es lineal, sino que también abre ciertas partes del dominio de frecuencia para pasar la señal que no lo hizo anteriormente. Quiere el filtro de paso / no paso más ajustado posible en frecuencia sin sobrepasar en el dominio del tiempo. Ningún sobreimpulso del dominio del tiempo es lo mismo que decir que la respuesta al impulso nunca es negativa.

— Olin Lathrop

@Kortuk: en algunos dominios, el cero está cerca del punto medio entre el máximo y el mínimo, y escalar una señal hacia el punto medio evitará problemas de sobreimpulso. En otros dominios, como las imágenes, cero es el mínimo, y el rango dinámico es lo más importante allí; en general, sería mejor tener un filtro "más difuso" que no se sobrepase que uno más nítido que sí.

— supercat