En realidad, la motivación es bastante simple.
Cuando tiene un circuito lineal y lo estimula con una sola frecuencia, donde quiera que mire siempre encontrará esa misma frecuencia, solo la amplitud y la fase de la onda que mide cambian.
Lo que haces es decir, bueno, olvidemos la frecuencia, si hago un seguimiento de la amplitud y fase de los voltajes y / o corrientes alrededor del circuito, será más que suficiente. Pero, ¿cómo puedes hacer eso? ¿No hay alguna herramienta matemática que le permita realizar un seguimiento de la amplitud y la fase? Sí, lo tienes: vectores. Un vector tiene una amplitud, es decir, su longitud, y una fase, que es el ángulo que forma con el eje x, la dirección ccw es positiva.
Ahora puedes objetar: los vectores bien son geniales, pero ¿no hay nada más genial? ¿Y por qué necesitamos usar la unidad imaginaria?
La respuesta a la segunda pregunta es fácil: hacer cálculos con vectores es bastante doloroso, un dolor de notación:
( 23) + ( 17 7) = ( 310)
¡Y eso es solo! Bueno, eso es solo un problema de notación, si elegimos otra base de cosas pueden ser mejores ... Y esta base existe, pero requiere la unidad imaginaria j . El desastre anterior se convierte en:
2 + 3 j + 1 + 7 j = 3 + 10 j
Mucho más fácil, ¿no?R2j
2 + 3 j + 1 + 7 j = 3 + 10 j
Ok, pero ¿qué tiene un vector imaginario en común con un voltaje? Bueno, trate de imaginar el plano de Gauss, el eje x es el eje real, el eje y es el imaginario.
ω
Bam Eso es lo que llamamos un fasor , y ese pequeño es el arma más fuerte que tienes contra los circuitos difíciles.
Entonces, ¿por qué son especiales estos fasores? Esto se debe a que si toma dos voltajes reales:
v1( t ) = V1cos( 2 πF0 0t + θ1)v2( t ) = V2cos( 2 πF0 0t + θ2)
Y lo mejor es que todo el análisis de circuito real que ha estudiado hasta ahora sigue funcionando con fasores e impedancias complejas. Es decir: la ley de Ohm se mantiene con fasores e impedancias complejas , y eso es genial ya que tenemos un montón de herramientas para resolver circuitos que se basan en las leyes de Ohm y Kirchhoff, y aún podemos usarlos.
Con los fasores, la derivada / integración también es súper fácil: como saben, ya que estamos hablando de senos y cosenos a la misma frecuencia , solo es cuestión de cambio de fase, y eso, sorpresa, es muy claro si usa el Representación exponencial compleja.
TL; DR: los sinusoides se representan como vectores rotativos en el plano polar, es más o menos como detener el tiempo mientras giran y toman una foto, es decir, calculan las relaciones de fase y amplitud. Solo echa un vistazo a la página fasorial en wikipedia. Y revise esta otra respuesta más concisa también.