Pregunta teórica sobre la unidad imaginaria "j" (análisis de circuito de CA)

Acabo de comenzar a aprender sobre el análisis de red de CA y tengo algunas preguntas sobre "j" (o "i" en mi calculadora), la unidad imaginaria. Mi libro no entra mucho en esto, y salta directamente a fórmulas y sustituciones (enfoque más práctico, no teórico). Entonces, ¿qué representa exactamente J?

Veo que si dibujo un plano complejo (el eje y es imaginario, el eje x es real) y dibujo un círculo unitario en él, un ángulo de 90 ° es , que es "j". Veo que puedo usar esta sustitución en forma de fasor cuando, por ejemplo, resolviendo el voltaje a través de un condensador cuando se conoce la corriente a través de él:$\sqrt{-1}$

¿Puede alguien ayudarme a entender esto?

Para ser sincero, esta pregunta es bastante vaga porque ni siquiera estoy seguro de cómo preguntar qué es J; Es tan extraño para mí. Me gustaría una explicación de sentido común (panorama general) de su significado y propósito en el análisis de circuitos de CA. No busco necesariamente una explicación matemática rigurosa (aunque cualquier explicación matemática necesaria es bienvenida).

Si coloca un signo menos delante del número "5" se convierte en "-5".

Intenta ver esto de manera diferente. Trate de pensar que gira el número "5" (atado al origen por un trozo de cuerda de longitud 5) 180 grados para convertirse en "-5"

Ok hasta ahora? Los signos negativos son lo mismo que rotar 180 grados ...

¿Por qué no extender esto más para producir algo que pueda "pegar" delante de un número positivo que lo gire 90 grados? en sentido contrario al reloj, es decir, si lo hiciera dos veces (j * j) obtendría 180 grados ("-").

De esta gema de conocimiento, por lo tanto, puede decir j * j = -1, por lo tanto, j = $\sqrt{-1}$

Así como un signo menos puede rotar cualquier valor positivo hasta 180 grados, puede rotar cualquier vector o fasor hasta 180 grados. Lo mismo se aplica al operador j: gira cualquier vector o fasor hasta 90 grados en sentido antihorario.

EDITAR - olvidé parte de la pregunta: -

sustituyendo j en la impedancia de un condensador. Recuerde que la fórmula básica para un condensador es Q = CV y, por lo tanto, diferencia las variables que obtenemos: -

$I = \dfrac{dQ}{dt} = C\dfrac{dV}{dt}$

Esto nos dice que para un voltaje aplicado de onda sinusoidal a través de un condensador, la corriente también será una onda sinusoidal pero se diferenciará en un coseno como este:

Si trataste de calcular la impedancia (V / I) de un condensador a partir de la relación VI te meterías en problemas porque cuando paso por cero, V NO es cero, por lo que obtienes infinitos. Si, por otro lado, aplica una "j" para poner la corriente en fase con el voltaje, las matemáticas funcionan bien: la corriente y el voltaje están alineados y la impedancia basada en valores instantáneos de V / I tiene sentido.

Soy consciente de que recién estás comenzando, así que he tratado de mantener esto preciso y simple (¿tal vez demasiado simple para algunos?).

Si observa el inductor, la "j" se puede aplicar al voltaje para alinearlo con la corriente, por lo tanto, "j" está en el numerador para la reactancia inductiva y j está en el denominador para la reactancia capacitiva. Hay sutilezas por aquí que, con suerte, tendrán sentido a medida que aprenda más; en realidad, no es coincidencia que "j" parezca "seguir" a omega cuando se trata de impedancias. ¡Mi explicación no cubre eso y su pregunta tampoco!

$i$$-1$

$-1$$-i$

Si imagina una recta numérica con números reales colocados horizontalmente. Ahora podemos agregar una segunda recta numérica que va verticalmente y que contiene los números imaginarios.

$4 + 3i$

Debido a que un punto en el espacio bidimensional ahora se puede representar como un número único, los cálculos que involucran vectores bidimensionales se simplifican.

En electrónica, cuando consideramos sistemas suministrados por una onda sinusoidal de frecuencia única, inicialmente se nos enseña a dibujar diagramas fasoriales. Luego, más tarde, para usar números complejos para tratar estos problemas.

$j$$i$$i$

Si desea un poco más de información, eche un vistazo a esta pregunta: ¿Qué son los números imaginarios? del sitio de intercambio de pila de matemáticas .

O eche un vistazo aquí: una guía visual e intuitiva de números imaginarios .

En matemáticas, alguien hizo la pregunta:

¿Cuál es la solución para x ^ 2 = -1?

Inventaron un número y dijeron que lo llamemos "j".

Resolvieron las consecuencias de hacer esto. Descubrieron que no conducía a ninguna contradicción dentro del ámbito de las matemáticas existentes.

Tenga en cuenta que podría pensar: "ok, ¿por qué no simplemente presentar una carta cada vez que tiene algo que no se puede resolver? Simplemente llamaré 1/0 = f".

Intentalo. No siempre funciona porque las reglas existentes de aritmética se rompen. Por ejemplo, puede mostrar que definir 1/0 = f le permite mostrar que 1 = 2, o 1 = 3, ...

Matemáticamente funciona y no condujo a ninguna contradicción. De repente, tenemos una manera de "agrupar" dos piezas de información en un solo número debido a la forma en que puede representar un número complejo: en un plano real / imaginario. De repente, podemos manipular un NÚMERO que contiene tanto magnitud como fase de la misma manera que manipulamos "números regulares". Esto es bastante útil.

En electrónica es bastante conveniente poder agrupar dos datos en un solo número. Por lo tanto, es bastante conveniente hacer uso de números complejos. Eso es todo lo que es. Simplemente queremos hacer un seguimiento tanto de una magnitud como de una fase: esta herramienta matemática que en muchos sentidos acaba de inventarse de la nada pero que no rompe ninguna regla nos permite hacer eso. Así que usémoslo.

En matemáticas, la unidad imaginaria es un número muy útil que se usa para resolver ecuaciones con un orden superior a 2. Fue presentado solo ... a la prueba, y funciona bastante bien hasta hoy. Esto permite obtener al menos una raíz en cada polinomio.

En electrónica, la unidad imaginaria representa la energía almacenada en nuestro circuito. Entonces, en el condensador, es la energía almacenada en él. También representa el cambio de fase en el circuito, cuando se trata de señales sinusoidales.

Creo que deberías precisar más tu pregunta, o simplemente escribir preguntas que te molesten en los puntos.

Por ejemplo ... Si la impedancia de su circuito estará representada solo por una unidad imaginaria, no por real, su factura de energía será ... cero :)