¿Por qué la inductancia (L) es proporcional con las vueltas al cuadrado (N²)?

Partimos de la ecuación de Maxwell

$$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0.$$

Tomamos la integración de la superficie de ambos lados, para la superficie ( ) dentro de la ruta media ( c ) del núcleo.$s$$c$

$$\int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$$

Usamos el teorema del trazo para reescribir el lado izquierdo; donde está en la misma dirección con el flujo magnético Φ .$c$$\Phi$

$$\oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I$$

(La integral en el lado izquierdo da como resultado , porque hay N cables diferentes en el devanado).$NI$$N$

La densidad del campo magnético dentro de este tipo de núcleos se considera uniforme. Entonces, podemos escribir

$$B \ell_c \overset\sim= \mu NI \implies B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c};$$

donde es la longitud media del camino del núcleo.$\ell_c$

Podemos encontrar el flujo magnético a partir de la densidad de flujo magnético que hemos encontrado utilizando el área de la sección transversal del núcleo .$A_c$

$$\Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}$$

Por definición, la inductancia es la cantidad de flujo magnético generado por corriente aplicada, es decir

$$L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}.$$

Entonces, encontramos inductancia del sistema como

$$\boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }.$$

Pero, todas las demás fuentes ( ejemplo ) dan inductancia de un inductor como este como

$$L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}.$$

¿Cuál es el error que cometí en mi derivación? Por favor explique en detalle.

$N^2$

Otra forma de expresar esta dependencia es decir: debido al acoplamiento magnético entre giros.

Piense en un inductor de una sola vuelta (izquierda abajo), luego imagine que una sola vuelta se divide en dos alambres paralelos que están enrollados muy apretadamente para que ocupen prácticamente el mismo espacio (justo debajo).

Los dos cables paralelos, para un voltaje aplicado dado, tomarán cada uno la mitad de la corriente del inductor de una sola vuelta y, juntos, tomarán la misma corriente que la vuelta única:

Debido a esto, cada cable paralelo individual DEBE tener el doble de la impedancia del cable único y, juntos, cuando están cableados en paralelo, exhiben la misma impedancia que el cable único. Ok hasta ahora?

Ahora, reorganice esos dos cables (en el ojo de su mente) para que estén en serie entre sí. La impedancia cambia a cuatro veces la impedancia: -

Esto significa que la inductancia se ha cuadruplicado para duplicar las vueltas y es trivial extender este ejemplo a n vueltas.

¿Cuál es el error que cometí en mi derivación? Por favor explique en detalle.

La inductancia es

$$L = \frac{\lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}$$

$\lambda$