Asignación justa y eficiente de "bienes familiares"

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Considere una economía de intercambio con dos bienes, por ejemplo, muebles para el hogar (x) y equipos eléctricos (y). Lo interesante de estos productos es que, cuando una familia posee un paquete, todos los miembros de la familia disfrutan del mismo paquete (es como un "club bueno" pero solo para la familia).

Hay dos familias. En cada familia, hay diferentes miembros con diferentes preferencias sobre los paquetes. Suponga que todas las preferencias son monotónicamente crecientes y estrictamente convexas.

Una asignación es un par de paquetes, $(x_1,y_1)$ para la familia 1 y para la familia 2. $(x_2,y_2)$

Una asignación se llama libre de envidia si:

Todos los miembros de la familia 1 creen que es al menos tan bueno como ; $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$
Todos los miembros de la familia 2 creen que es al menos tan bueno como . $(x_2,y_2)$ $(x_1,y_1)$

Una asignación se llama eficiente de Pareto si no hay otra asignación de paquetes a las familias de manera que todos los miembros de todas las familias prefieran débilmente y al menos un miembro de una familia prefiera estrictamente.

¿Bajo qué condiciones existe una asignación libre de envidia eficiente de Pareto?

Si cada familia tiene un solo miembro, entonces existe una asignación libre de envidia eficiente de Pareto; Este es un famoso teorema de Varian . ¿Se ha generalizado este teorema de individuos a familias?

— Erel Segal-Halevi
fuente

Definición muy fuerte de libertad de envidia. Uno podría suponer que de alguna manera agregaría las preferencias primero y luego afirmaría que no hay envidia de acuerdo con las preferencias agregadas.

— Giskard

@denesp de hecho, pensé en agregar preferencias, por ejemplo, usar una función de bienestar social. Pero, cada selección de tal función sería arbitraria y no estaría suficientemente motivada.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi ¿Desea que asumamos también que la utilidad de cada miembro de cada familia está aumentando débilmente en la cantidad de

e

recibe su familia? Si es así, tengo una condición muy insatisfactoria para usted bajo la cual existe una asignación eficiente de Pareto, sin envidia: supongamos que, para cada familia, cada miembro de esa familia tiene las mismas preferencias ...: P

x

$x$

y

$y$

— Shane

@Shane débil monotonicidad parece una suposición razonable. Si, en cada familia, todos los miembros tienen las mismas preferencias, entonces cada familia es en realidad como un solo agente, por lo que estamos de vuelta en la configuración estándar ...

— Erel Segal-Halevi

¿Qué pasa con el caso donde

e

? Suponiendo una monotonicidad débil, entonces esto debe ser Pareto y sin envidia. A partir de ahí, ¿podríamos hacer algunos pequeños cambios de épsilon?

x_{1} = x_{2}

$x_1 = x_2$

y_{1} = y_{2}

$y_1 = y_2$

— Kitsune Cavalry

2

En este momento no estoy seguro acerca de la equivalencia del reetiquetado y, por lo tanto, la utilidad de esta respuesta: vea los comentarios a continuación.

Este es el comienzo de una respuesta y un intento de demostrar cuán fuertes deberían ser los supuestos necesarios para garantizar la existencia.

Transformemos el problema en uno que sea equivalente pero un poco más fácil de trabajar. En lugar de indexar sobre familias, indexemos sobre los agentes (miembros de familias). La clave de este nuevo etiquetado es comprender que las familias se pueden escribir como restricciones: si los agentes y pertenecen a la misma familia, entonces e . $i$ $j$ $x_i=x_j$ $y_i = y_j$

Ahora estamos de vuelta en el entorno estándar con agentes individuales (no familias) pero con estas restricciones familiares. Recuerde la prueba del teorema de Varian, que vincula en la pregunta. Utiliza la existencia de un equilibrio competitivo de ingresos iguales. En este contexto, necesitaríamos la existencia de un equilibrio competitivo de ingresos iguales en el que también se cumplieran las restricciones familiares. Esto va a ser muy difícil de hacer. Por ejemplo, considere que y están en una familia, y $i$ $j$ donde es pequeño. Estas preferencias son monótonas y convexas. Básicamente, un miembro de la familia se preocupa por el otro se preocupa por . Si cada uno de los dos agentes está comprando e para maximizar su utilidad, no esperaría que o en el equilibrio competitivo (vea elapéndiceal final).

u_{i} = x_{i} + ε y_{i} and u_{j} = ε x_{j} + y_{j}

$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$

ε > 0

$\varepsilon>0$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x_{i}^{*} = x_{j}^{*}

$x_i^* = x_j^*$

y_{i}^{*} = y_{j}^{*}

$y_i^* = y_j^*$

Esta es la razón por la que sin duda necesita alguna suposición sobre las similitudes de preferencia dentro de las familias (al menos para usar una versión de la prueba de Varian). Mi sensación es que si me das una diferencia arbitrariamente pequeña en las preferencias entre los miembros de la familia, puedo construir un ejemplo alrededor de esto donde no exista CEEI en el que elijan la misma asignación. Y luego, al menos, no puedes usar la prueba de Varian.

Dos preguntas:

¿Está de acuerdo en que mi reformulación del problema es formalmente equivalente a usted?
¿Puedes pensar en alguna suposición más débil que asumir una homogeneidad de preferencia dentro de la familia que puedo intentar invalidar con un contraejemplo?

Anexo: Recuerde que en un equilibrio competitivo, la tasa marginal de sustitución (MRS) de cada agente es igual a la relación de precios. Aquí, mis agentes tienen MRS constantes y diferentes, por lo que no puede existir un equilibrio competitivo con una relación de precios que iguale a sus dos MRS. Si cada agente tiene un MRS que varía, entonces tal vez podrían ser iguales en la relación de precio de equilibrio. Entonces, tal vez podría salirse con la noción de homogeneidad local de las preferencias familiares. Pero debe hacer que sean localmente homogéneos en el equilibrio competitivo, que es exactamente lo que está tratando de demostrar que existe, por lo que sería un poco circular.

Nota importante: Como se mencionó anteriormente, supongo que la única forma de demostrar la existencia es cómo lo hizo Varian, a través de CEEI. Puede haber otras técnicas de prueba que eviten estos problemas, pero sospecho que no.

$i,j$ $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

M R S_{i} = M R S_{j}

$MRS_i = MRS_j$ Si esto no fuera cierto, habría una mejora de Pareto. El equilibrio competitivo esencialmente iguala las MRS a través de la relación de precios, pero aún necesita igualar estas MRS solo para encontrar una asignación eficiente de Pareto. Creo que las restricciones familiares harán que esto sea muy difícil: no es difícil encontrar un entorno y restricciones familiares de tal manera que no exista un equilibrio eficiente de Pareto que satisfaga esas restricciones. En cualquier caso, este podría ser otro paso parcial hacia una respuesta: Olvídate de la ausencia de envidia. Primero, trate de llegar a una suposición sobre las preferencias (y quizás sobre las restricciones familiares) que garantice la existencia de una asignación eficiente de Pareto que satisfaga las restricciones familiares. Entonces preocúpate por la envidia.

— Shane
fuente

1

u_{1} = 2 x_{1} + y_{1}

$u_1 = 2 x_1 + y_1$

u_{2} = x_{2} + 2 y_{2}

$u_2 = x_2 + 2 y_2$

1

Encontré en el documento original de Varian: sciencedirect.com/science/article/pii/0022053174900751 pruebas de la existencia de asignaciones de PEEF, que no dependen de CEEI y, por lo tanto, son válidas incluso en situaciones en las que no existe un CEEI (las preferencias no son estrictamente convexo). Hasta ahora, no he logrado entender estas pruebas, pero pueden ser relevantes.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi En su ejemplo, cualquier asignación en la que ambos agentes obtienen cantidades estrictamente positivas de ambos bienes es Pareto ineficiente, ¿no? Estoy luchando por entender tus rangos. Sin embargo, en general, estoy de acuerdo contigo. He agregado una sección adicional para probar los PEEF directamente (sin CEEI). No creo que lo encuentres particularmente satisfactorio, pero se trata de todo lo que es obvio para mí en este momento.

— Shane

1

[(x_{1}, 0), (4 - x_{1}, 4)]

$[(x_1,0),(4-x_1,4)]$

x_{1} \in [3, 4]

$x_1\in [3,4]$

[(4, 4 - y_{2}), (0, y_{2})]

$[(4,4-y_2),(0,y_2)]$

y_{2} \in [3, 4]

$y_2\in [3,4]$

— Erel Segal-Halevi

1

x_{i}, x_{j}, y_{i}, y_{j}

$x_i,x_j,y_i,y_j$

i

$i$

j

$j$

x_{i} = x_{j} = 1

$x_i = x_j = 1$

x

$x$ , no 2. Ahora estoy cuestionando la equivalencia del reetiquetado. Las familias no son solo una restricción (en que las personas deben compartir los mismos bienes), también son un beneficio, en que los bienes son públicos / compartidos dentro de la familia.

— Shane

2

$n_u$ $n_v$ $i$

\begin{array}{rcl} u_{i} (x_{u}, y_{u}) = a_{i} x_{u} + y_{u} \end{array}

$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$

a_{i}

$a_i$

i \in {1, 2, \dots, n_{u}}

$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

$j$

\begin{array}{rcl} v_{j} (x_{v}, y_{v}) = b_{j} x_{v} + y_{v} \end{array}

$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$

b_{j}

$b_j$

j \in {1, 2, \dots, n_{v}}

$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

$X$ $Y$ $(\omega_X, \omega_Y)$

$\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$ $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

$\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$

— Amit
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min_{i} a_{i} \geq max_{j} b_{j}

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

Todos los miembros de la familia U tienen una MRS más alta que todos los miembros de la familia V.

— Amit

Creo que para 2 familias y preferencias lineales, este requisito se puede eliminar. Tengo que trabajar en los detalles todavía.

— Erel Segal-Halevi

Creo que será difícil eliminar este requisito porque queremos que la asignación esté libre de envidia. Las condiciones pueden no parecer claras incluso si de alguna manera es relajado. Pero este resultado es válido para una clase más amplia de funciones de utilidad. Será una buena idea extender el resultado para incluir preferencias de otro tipo. Por ejemplo: también se puede probar una versión para las preferencias de Cobb Douglas.

— Amit

1

Suponga que las preferencias de todos los agentes en todas las familias son monótonas y convexas (los supuestos estándar de la teoría del consumidor).

Entonces, una asignación libre de envidia eficiente de Pareto siempre existe cuando hay dos familias. Sin embargo, podría no existir cuando hay tres o más familias.

Se pueden encontrar pruebas y ejemplos en este documento de trabajo .

— Erel Segal-Halevi
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-2

El enunciado del problema parece implicar que X e Y no pueden ser sustitutos (un dispositivo eléctrico no puede usarse como mueble de hogar).

Una asignación libre de envidia eficiente de Pareto existe cuando:

Para al menos un agente, al menos algunos bienes tienen una utilidad negativa o son complementos, y los agentes pueden elegir no consumir.

Ejemplo:

Los agentes A y B pertenecen a la familia F1.
La función de utilidad del agente A es:

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

La función de utilidad del agente B es:

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

Los agentes C y D pertenecen a la familia 2.
El agente C tiene una función de utilidad:

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

El agente D tiene función de utilidad:

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

Solución:

F1 prefiere (X1, Y1) y el agente A elegirá no consumir ningún bien.

F2 prefiere (X2, Y2) y el agente C elegido para no consumir ningún bien.

Estos son realmente argumentos semánticos y no hay un equilibrio significativo sin asumir preferencias compartidas.

— DJ Sims
fuente

¿Podrías quizás hacer tus declaraciones más precisas? Por ejemplo, ¿qué son los "complementos negativos"? Y ofrezca al menos un argumento heurístico que respalde las afirmaciones, si no una prueba completa, para que podamos entender su razonamiento.

— Shane

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

Editó la respuesta. Tienes razón en el segundo punto. Si se requiere que los agentes consuman, entonces el argumento no se aplica.

— DJ Sims