Una rifa engañosa

Supongamos que tenemos un zorro hambriento. Tiene un montón gigantesco de zanahorias en mal estado que no puede comer (y no lo haría si estuvieran frescas de todos modos), pero sabe que los conejitos locales en la zona vecina adoran las zanahorias.

Sella todas las zanahorias estropeadas en una cesta hermética y se dirige a poner en práctica un plan malicioso. Anuncia a todos los conejitos $ n $ en la región que está sorteando una enorme cantidad de zanahorias por un monto de $ x $ que puede obtener en un mercado vecino, pero que está decidiendo sortear. sus buenos vecinos Él dice que él mismo entregará la carga pesada a la casa del ganador en privado.

El zorro insiste en mantener las zanahorias frescas y mantiene la canasta cerrada, por lo que los conejitos no pueden oler ni ver las zanahorias antes de la rifa, en este momento. Él planea vender boletos por $ p $ dinero cada uno, y luego escoger uno de los boletos al azar. Un conejito puede comprar más de un boleto. Este proceso es público y verificable. Cuando entregue las zanahorias estropeadas, actuará sorprendido y luego reembolsará cualquier boleto que haya comprado el ganador, y le dirá al ganador que también reembolsará al resto de los conejos ... antes de huir con el resto de los ingresos antes de que nadie puede detenerlo

Los conejos son algo sospechosos de todo este sorteo, en diversos grados, pero si fueran los ganadores, no pedirían un premio de reemplazo de igual valor a las zanahorias y aceptarían el reembolso mientras el zorro estaba en su casa (es una cosa). Decimos que la utilidad esperada de cada uno de los conejos para los boletos es:

$$ \ mathbb {E} [u_i (t_i, g_i)] = \ frac {t_i} {\ sum_i ^ n t_i} (g_i \ cdot [C - x ^ 2 + x] - pt_i) + (1 - \ frac {t_i} {\ sum_i ^ n t_i}) (- pt_i) $$

donde $ C & gt; 0 $ es una constante, y $ g_i \ in (0, 1] $ es una distribución de credulidad uniforme (más alto es más crédulo, cada conejito tiene un $ g_i $ diferente en algún lugar de la distribución). Observe cómo si el zorro anuncia $ x $ como demasiado alto, los conejos pensarán que el sorteo es demasiado bueno para ser cierto y comenzará a valorar el sorteo menos de lo que tendrían, para todo lo demás igual. $ \ mathbb {E} (u_i) $ es información pública y la distribución de $ g_i $ también es información pública.

Mi pregunta es si es posible o no para el zorro

• Determinar la demanda de entradas dada la información.
• si es así, qué $ x $ y $ p $ debería anunciar para maximizar la ganancia esperada
• Si no, ¿qué información adicional debe ser la pregunta un problema convincente y solucionable?

Un punto crítico aquí es tener en cuenta que el número total de entradas no se establece a priori . Esto es bueno, porque hace que la función de utilidad esperada no sea lineal en $ t_i $, y así nos permite continuar (a mitad de camino).

Escribiendo $ S $ para el número total de boletos y $ S _ {- i} $ para el número total menos las compras de bunny $ i $, y simplificando, la utilidad esperada es

$$ \ mathbb {E} [u_i (t_i, g_i)] = \ frac {t_i} {S} \ cdot g_i \ cdot [C-x ^ 2 + x] -pt_i \ tag {1} $$

La condición de primer orden para la maximización de la utilidad de un conejito con respecto al número de boletos comprados es,

$$ \ frac {\ partial \ mathbb {E} [u_i (t_i, g_i)]} {\ parcial t_i} = \ frac {S _ {- i}} {S ^ 2} g_i \ cdot [Cx ^ 2 + x ] - p = 0 $$

$$ \ implica t_i = \ left (\ frac {S _ {- i} g_i \ cdot [Cx ^ 2 + x]} {p} \ right) ^ {1/2} - S _ {- i} \ tag {2 } $$

La condición de segundo orden se cumple, por lo que será un máximo. Reorganizando $ (2) $ obtenemos

$$ S = \ left (\ frac {S _ {- i} g_i \ cdot [C-x ^ 2 + x]} {p} \ right) ^ {1/2} \ tag {3} $$

La elección de $ i $ fue arbitraria por lo que tenemos

$$ S _ {- i} g_i = S _ {- j} g_j, \; \; \; \ para todos i \ neq j \ implica (S-t_i) g_i = (S-t_j) g_j $$

$$ \ implica t_j = S - \ frac {g_i} {g_j} (S-t_i), \; \; \; \ forall j \ neq i \ tag {4} $$

Sumando más de $ j \ neq i $ obtenemos

$$ S-t_i = S _ {- i} = (n-1) S - (S-t_i) g_i \ sum_ {j \ neq i} g_j ^ {- 1} $$

$$ \ implica (S-t_i) = \ frac {n-1} {1 + g_i \ sum_ {j \ neq i} g_j ^ {- 1}} S \ tag {5} $$

Al insertar $ (5) $ en $ (3) $ obtenemos

$$ S = \ left (\ frac {\ frac {n-1} {1 + g_i \ sum_ {j \ neq i} g_j ^ {- 1}} S g_i \ cdot [Cx ^ 2 + x]} {p } \ right) ^ {1/2} $$

$$ \ implica que S = \ frac {(n-1) g_i \ cdot [Cx ^ 2 + x]} {\ left (1 + g_i \ sum_ {j \ neq i} g_j ^ {- 1} \ right) p } \ tag {6} $$

Pudimos expresar la demanda total en función de las variables de decisión del zorro y los parámetros / variables aleatorias del modelo. Sin embargo, también alude al problema aquí (multiplíquese por $ p $ para obtener la función de ingresos), pero derivémoslo explícitamente.

Para uso posterior, desde $ (5) $ también obtenemos

$$ t_i = S \ left (1- \ frac {n-1} {1 + g_i \ sum_ {j \ neq i} g_j ^ {- 1}} \ right) \ tag {7} $$

En cuanto a la función de ganancias del zorro, tiene ciertos ingresos brutos equivalentes a $ pS $ y luego tendrá que pagar la cantidad pagada por el conejito que gana la lotería. Entonces, con la probabilidad $ t_i / S $, el zorro obtiene $ pS - pt_i $. Así que la función de beneficio esperado, después La venta de entradas ha sido finalizada y antes de el sorteo de loteria, es

$$ E (\ pi) = \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {t_i} {S} \ left (pS - pt_i \ right) = p \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {t_i ( S-t_i)} {S} \ tag {8} $$

Insertando $ (5), (7) $ en $ (8) $, tenemos

$$ E (\ pi) = p \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {S \ left (1- \ frac {n-1} {1 + g_i \ sum_ {j \ neq i} g_j ^ {- 1}} \ derecha) \ izquierda (\ frac {n-1} {1 + g_i \ sum_ {j \ neq i} g_j ^ {- 1}} S \ derecha)} {S} $$

$$ = pS \ sum_ {i = 1} ^ n \ left (1- \ frac {n-1} {1 + g_i \ sum_ {j \ neq i} g_j ^ {- 1}} \ right) \ left ( \ frac {n-1} {1 + g_i \ sum_ {j \ neq i} g_j ^ {- 1}} \ derecha) $$

Usando también $ (6) $ obtenemos, después de la simplificación

$$ E (\ pi) = \ frac {(n-1) ^ 2g_i \ cdot [Cx ^ 2 + x]} {1 + g_i \ sum_ {j \ neq i} g_j ^ {- 1}} \ cdot \ sum_ {i = 1} ^ n \ left [\ frac {\ left (g_i \ sum_ {j \ neq i} g_j ^ {- 1} -n + 2 \ right)} {\ left (1 + g_i \ sum_ { j \ neq i} g_j ^ {- 1} \ right) ^ 2} \ right] \ tag {9} $$

La ecuación $ (9) $ revela los problemas aquí: mientras que desde $ (3) $ el zorro puede deducir todos los $ g_i $ 's ex, la función de ganancia esperada parece una función muy complicada de $ n $ (0,1) $ variables aleatorias.

Pero lo más importante es que el beneficio no depende del precio (ya que, para comenzar, el Ingreso Total no depende del precio). Si bien esto es estándar en un entorno perfectamente competitivo (donde el equilibrio del mercado determina el precio), aquí tenemos un monopolio. Para solucionar este problema, se debe volver a la función de utilidad esperada y cambiar su forma casi lineal, y en su lugar se supone una utilidad cóncava en $ pt_i $, $ v (pt_i), v '& gt; 0, v' '& lt; 0 $ . Esto mantendrá el precio como un argumento de la función de ganancia junto con $ x $, y podría intentarse maximizar la ganancia con respecto a $ (p, x) $ conjuntamente.