Calcular la elasticidad de sustitución de las preferencias de Epstein-Zin

$\newcommand{\E}{\mathbb{E}}$ Deje que se dé una secuencia de consumo

C = (C_{0}, C_{1}, . . .)

$C=(C_0, C_1,...)$ y deje

C_{t}^{+} = (C_{t}, C_{t + 1}, . . .)

$C_t^+ = (C_t, C_{t+1}, ...)$ . Ahora, supongamos que tengo preferencias de Epstein-Zin,

\begin{aligned} U_{t} (C_{t}^{+}) & = f (C_{t}, q (U_{t + 1} (C_{t + 1}^{+}))) \\ U_{t} & = {(1 - β) C_{t}^{1 - ρ} + β {(E_{t} [U_{t + 1}^{1 - γ}])}^{\frac{1 - ρ}{1 - γ}}}^{\frac{1}{1 - ρ}}, \end{aligned}

$\begin{align*} U_t(C_t^+) &= f(C_t, q(U_{t+1}(C_{t+1}^+))) \\ U_t &= \left \{(1-\beta) C_t^{1-\rho} + \beta \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1-\rho}{1-\gamma}} \right\}^{\frac{1}{1-\rho}}, \end{align*}$ donde

f

$f$ es el agregador de tiempo y

q

$q$ es el condicional operador equivalente de certeza. Es decir,

f (c, q) = ((1 - β) c^{1 - ρ} + β q^{1 - ρ})^{\frac{1}{1 - ρ}}

$f(c,q) = ((1-\beta) c^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho})^{\frac{1}{1-\rho}}$ y

q_{t} = q (U_{t + 1}) = {(E_{t} [U_{t + 1}^{1 - γ}])}^{\frac{1}{1 - γ}} .

$q_t = q(U_{t+1}) = \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1}{1-\gamma}}.$ ¿Cómo demuestro que la elasticidad intertemporal de sustitución es

ρ^{- 1}

$\rho^{-1}$ ?

utility elasticity

— jmbejara
fuente

Hola. En su respuesta, usted escribió "Avíseme si alguien tiene un enfoque más limpio / claro", pero no ha respondido en absoluto al enfoque que propuse. ¿Algún comentario?

— Alecos Papadopoulos

He comentado a continuación.

— jmbejara

Respuestas:

$\newcommand{\dd}{\, \mathrm{d}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}$ Aquí está mi solución. Avíseme si alguien tiene un enfoque más limpio / claro.

Considere una secuencia de consumo fija (no aleatoria) . Entonces, la elasticidad de la sustitución intertemporal (EIS) se define como Para calcular esta cifra, comencemos calculando Además, $C = (C_0, C_1,...)$

EIS = | \frac{d \ln (C_{s} / C_{t})}{d \ln M R S_{s, t}} | = | \frac{d \ln (\frac{C_{s}}{C_{t}})}{d \ln (\frac{\partial U / \partial C_{s}}{\partial U / \partial C_{t}})} | .

$\text{EIS} = \left| \frac{\dd \ln(C_s/C_t)}{\dd \ln MRS_{s,t}}\right| = \left|\frac{\dd \ln \left(\frac{C_s}{C_t}\right)} {\dd \ln \left( \frac{\partial U/\partial C_s}{\partial U/\partial C_{t}}\right)} \right |.$

\begin{aligned} \frac{\partial U_{t}}{\partial C_{t}} & = f_{c} (C_{t}, q_{t} (U_{t + 1} (C_{t + 1}^{+}))) \\ = \frac{1}{1 - ρ} {((1 - β) C_{t}^{1 - ρ} + β q^{1 - ρ})}^{\frac{ρ}{1 - ρ}} (1 - β) (1 - ρ) C_{t}^{- ρ} \\ = (1 - β) f_{t}^{ρ} C_{t}^{- ρ} . \end{aligned}

$\begin{align*} \pd{U_t}{C_t} &= f_c(C_t, q_t(U_{t+1}(C_{t+1}^+))) \\ &= \frac{1}{1-\rho} \left( (1-\beta) C_t^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho} \right)^{\frac{\rho}{1-\rho}} (1-\beta) (1-\rho) C_t^{-\rho} \\ &= (1-\beta) f_t^{\rho} C_t^{-\rho}. \end{align*}$

\begin{aligned} \frac{\partial U_{t}}{\partial C_{t + 1}} & = f_{q} \cdot \frac{d q_{t}}{d U_{t + 1}} \cdot \frac{\partial U_{t + 1}}{\partial C_{t + 1}} . \end{aligned}

$\begin{align*} \pd{U_t}{C_{t+1}} &= f_q \cdot \frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}} \cdot \pd{U_{t+1}}{C_{t+1}}. \end{align*}$ Será más fácil calcular estas piezas en partes. Primero, A continuación, considere . Esto se simplifica por el hecho de que no es aleatorio, Finalmente, que se deduce de nuestro cálculo anterior. Así,

f_{q} = β f^{ρ} q_{t}^{- ρ} .

$f_q = \beta f^{\rho} q_t^{-\rho}.$

\frac{d q_{t}}{d U_{t + 1}}

$\frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}}$

C

$C$

\frac{d q_{t}}{d U_{t + 1}} = q_{t}^{γ} U_{t + 1}^{- γ} = 1.

$\frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}} = q_t^\gamma U_{t+1}^{-\gamma} = 1.$

\frac{\partial U_{t + 1}}{\partial C_{t + 1}} = (1 - β) f_{t + 1}^{ρ} C_{t + 1}^{- ρ},

$\pd{U_{t+1}}{C_{t+1}} = (1-\beta) f_{t+1}^{\rho} C_{t+1}^{-\rho},$

\begin{aligned} \frac{\partial U_{t}}{\partial C_{t + 1}} & = f_{q} \cdot \frac{d q_{t}}{d U_{t + 1}} \cdot \frac{\partial U_{t + 1}}{\partial C_{t + 1}} \\ = β f_{t}^{ρ} q_{t}^{- ρ} (1 - β) f_{t + 1}^{ρ} C_{t + 1}^{- ρ}, \end{aligned}

$\begin{align*} \pd{U_t}{C_{t+1}} &= f_q \cdot \frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}} \cdot \pd{U_{t+1}}{C_{t+1}} \\ &= \beta f_t^{\rho} q_t^{-\rho} (1-\beta) f_{t+1}^{\rho} C_{t+1}^{-\rho}, \end{align*}$ donde y . Ahora, podemos calcular Ahora, dejemos Luego, tomando los diferenciales,

f_{t} = f (C_{t}, q_{t})

$f_t = f(C_t, q_t)$

q_{t} = q (U_{t + 1} (C_{t + 1}^{+}))

$q_t = q(U_{t+1}(C_{t+1}^+))$

\begin{aligned} \frac{\partial U_{t} / \partial C_{t + 1}}{\partial U_{t} / \partial C_{t}} & = \frac{β f_{t}^{ρ} q_{t}^{- ρ} (1 - β) f_{t + 1}^{ρ} C_{t + 1}^{- ρ}}{(1 - β) f_{t}^{ρ} C_{t}^{- ρ}} \\ = β q_{t}^{- ρ} f_{t + 1}^{ρ} {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- ρ} \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t} &= \frac { \beta f_t^{\rho} q_t^{-\rho} (1-\beta) f_{t+1}^{\rho} C_{t+1}^{-\rho}} {(1-\beta) f_t^{\rho} C_t^{-\rho}} \\ &= \beta q_t^{-\rho} f_{t+1}^{\rho} \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-\rho}\\ \end{align*}$

\frac{p_{t + 1}}{p_{t}} = \frac{\partial U_{t} / \partial C_{t + 1}}{\partial U_{t} / \partial C_{t}} .

$\frac{p_{t+1}}{p_t} = \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t}.$

d (\frac{p_{t}}{p_{0}}) = \frac{\partial U_{t} / \partial C_{t + 1}}{\partial U_{t} / \partial C_{t}} {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- 1} (- ρ) d \frac{C_{t + 1}}{C_{t}} .

$\dd \left(\frac{p_t}{p_0}\right) = \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t} \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-1} (-\rho) \dd \frac{C_{t+1}}{C_t}.$ Entonces, Ahora, conectando esto a la definición del EIS,

\begin{aligned} \frac{d (\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}{d (\frac{p_{t + 1}}{p_{t}})} \cdot \frac{\frac{p_{t + 1}}{p_{t}}}{\frac{C_{t + 1}}{C_{t}}} & = {(\frac{\partial U_{t} / \partial C_{t + 1}}{\partial U_{t} / \partial C_{t}} {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- 1} (- ρ))}^{- 1} \cdot \frac{\frac{p_{t + 1}}{p_{t}}}{\frac{C_{t + 1}}{C_{t}}} \\ = - \frac{\frac{C_{t + 1}}{C_{t}} \frac{p_{t + 1}}{p_{t}}}{\frac{p_{t + 1}}{p_{t}} \frac{C_{t + 1}}{C_{t}}} ρ^{- 1} = - ρ^{- 1} . \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{\dd\left(\frac{ C_{t+1}}{C_t}\right)}{\dd \left(\frac{p_{t+1}}{p_t}\right)} \cdot \frac{\frac{p_{t+1}}{p_t}}{\frac{C_{t+1}}{C_t}} &= \left( \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t} \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-1} (-\rho) \right)^{-1} \cdot \frac{\frac{p_{t+1}}{p_t}}{\frac{C_{t+1}}{C_t}} \\ &= -\frac{\frac{C_{t+1}}{C_t} \frac{p_{t+1}}{p_t}} {\frac{p_{t+1}}{p_t} \frac{C_{t+1}}{C_t}} \rho^{-1} = -\rho^{-1}. \end{align*}$

\begin{aligned} EIS & = | \frac{d \ln (\frac{C_{s}}{C_{t}})}{d \ln (\frac{\partial U / \partial C_{s}}{\partial U / \partial C_{t}})} | \\ = | \frac{d (\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}{d (\frac{p_{t + 1}}{p_{t}})} \cdot \frac{\frac{p_{t + 1}}{p_{t}}}{\frac{C_{t + 1}}{C_{t}}} | \\ = ρ^{- 1} . \end{aligned}

$\begin{align*} \text{EIS} &= \left|\frac{\dd \ln \left(\frac{C_s}{C_t}\right)} {\dd \ln \left( \frac{\partial U/\partial C_s}{\partial U/\partial C_{t}}\right)} \right | \\ &= \left| \frac{\dd\left(\frac{ C_{t+1}}{C_t}\right)}{\dd \left(\frac{p_{t+1}}{p_t}\right)} \cdot \frac{\frac{p_{t+1}}{p_t}}{\frac{C_{t+1}}{C_t}} \right| \\ &= \rho^{-1}. \end{align*}$

— jmbejara
fuente

Después de su derivación, excepto para una pieza: . ¿Puedes explicar por qué desaparece el operador de expectativa? Específicamente por qué no es esto:

\frac{\dd q_{t}}{\dd U_{t + 1}}

$\frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}}$

\frac{\dd q_{t}}{\dd U_{t + 1}} = q_{t}^{γ} E_{t} U_{t + 1}^{- γ}

$\frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}} = q_t^\gamma E_{t}U_{t+1}^{-\gamma}$

— Alex

@Alex. Es porque asumí que una secuencia de consumo fija (no aleatoria). Cuando tenga algo de tiempo, me gustaría intentarlo de nuevo sin hacer esa suposición.

— jmbejara

Al usar la notación compacta y un tratamiento en negrita del símbolo diferencial , creo que puede atajar esto significativamente. $\text{d}$

Matemáticamente, esta es una función CES bivariada, por lo que sabemos que la elasticidad de sustitución será constante entre los dos argumentos, sean cuales sean.

f (c, q) = ((1 - β) c^{1 - ρ} + β q^{1 - ρ})^{\frac{1}{1 - ρ}} = {[h (c, q]}^{\frac{1}{1 - ρ}}

$f(c,q) = ((1-\beta) c^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho})^{\frac{1}{1-\rho}} = \left[h(c,q\right]^{\frac{1}{1-\rho}}$

Entonces

\frac{\partial f}{\partial c} = \frac{1}{1 - ρ} {[h (c, q]}^{\frac{1}{1 - ρ} - 1} \cdot h_{c}

$\frac {\partial f}{\partial c} = \frac{1}{1-\rho}\left[h(c,q\right]^{\frac{1}{1-\rho}-1}\cdot h_c$

\frac{\partial f}{\partial q} = \frac{1}{1 - ρ} {[h (c, q]}^{\frac{1}{1 - ρ} - 1} \cdot h_{q}

$\frac {\partial f}{\partial q} = \frac{1}{1-\rho}\left[h(c,q\right]^{\frac{1}{1-\rho}-1}\cdot h_q$

Asi que

\frac{\partial f / \partial c}{\partial f / \partial q} = \frac{h_{c}}{h_{q}} = \frac{(1 - β)}{β} \cdot (c / q)^{- ρ}

$\frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q} = \frac{h_c}{h_q} = \frac {(1-\beta)}{\beta}\cdot (c/q)^{-\rho}$

Promover

\ln (\frac{\partial f / \partial c}{\partial f / \partial q}) = \ln \frac{(1 - β)}{β} - ρ \ln (c / q)

$\ln \left(\frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q}\right) = \ln\frac {(1-\beta)}{\beta} -\rho\ln (c/q)$

⟹ d [\ln (\frac{\partial f / \partial c}{\partial f / \partial q})] = - ρ \cdot d \ln (c / q)

$\implies \text{d}\left[\ln \left(\frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q}\right)\right] = -\rho\cdot \text{d}\,\ln (c/q)$

ya que el primer término es una constante. Así que finalmente,

EIS = | \frac{d \ln (c / q)}{d \ln (\frac{\partial f / \partial c}{\partial f / \partial q})} |

$\text{EIS} = \left|\frac{\text{d}\, \ln \left(c/q\right)} {\text{d}\, \ln \left( \frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q}\right)} \right |$

= | \frac{d \ln (c / q)}{- ρ \cdot d \ln (c / q)} | = ρ^{- 1}

$=\left|\frac{\text{d}\, \ln \left(c/q\right)} {-\rho\cdot \text{d}\,\ln (c/q)} \right | = \rho^{-1}$

No le digas a tu amigo el matemático, pero dile a Leibniz.

— Alecos Papadopoulos
fuente

Esto es definitivamente más limpio. Mi única preocupación era que, técnicamente, esto parece dar la elasticidad de sustitución entre el consumo actual y el valor de continuación . Si bien esto resulta ser lo mismo que el EIS entre el consumo hoy y el consumo mañana , no creo que sepa lo suficiente sobre las preferencias de Epstein-Zin (y las preferencias recursivas, en general) para comentar en cuanto a cuándo será o no el caso en general.

c

$c$

q

$q$

C_{t}

$C_t$

C_{t + 1}

$C_{t+1}$

— jmbejara

@jmbejara De hecho, dada la especificación CES (que es una estructura matemática, independientemente de la interpretación que le otorguemos a los símbolos), la "elasticidad de sustitución" se calcula necesariamente entre sus dos argumentos, que de hecho son y .

C_{t}

$C_t$

q_{t}

$q_t$

— Alecos Papadopoulos