Función de producción CES con

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Al usar funciones de producción CES de la forma $f(x_1,x_2)=(x_1^\rho+x_2^\rho)^{1/\rho}$ , siempre asumimos que $\rho\leq1$ . ¿Por qué hacemos esa suposición? Entiendo que si $\rho>1$ , la función de producción ya no será cóncava (y, por lo tanto, el conjunto de producción no será convexo), pero ¿qué implica eso sobre las funciones de ganancias y costos?

— Sher Afghan
fuente

3

ρ

$\rho$ arriba de uno daría como resultado una solución de esquina donde solo se elige una entrada con cantidad positiva. Dado que el objetivo de las funciones de producción multi-buenas es, por lo general, modelar circunstancias en las que se usan realmente dos entradas, esta es una característica indeseable.

— BKay

¿Habrá una solución al problema del beneficio máximo?

— Sher Afghan

@SherAfghan, la función lineal con

ρ = 1

$\rho = 1$ parece no estar en la familia CES, ya que su elasticidad de sustitución no es constante.

— garej

3

El problema con es que significa que el producto marginal de los factores no está disminuyendo ( ) o constante ( ) sino aumentando, lo cual es una suposición extraña. Dichas funciones producen isocuantas que son cóncavas y pueden conducir a que solo se use un factor (como dijo BKay). $\rho>1$ $\rho<1$ $\rho=1$

Como en cualquier CES genérico, el producto marginal del factor es $x_i$

M P_{i} = {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ}

$MP_i = \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}$

La derivada de este MP con respecto a es, después de algunos cambios, $x_i$

(ρ - 1) {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ} (\frac{x_{- i}}{x_{i} y^{ρ}})

$(\rho-1) \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}\left(\frac{x_{-i}}{x_iy^{\rho}}\right)$

Para , esta expresión es positiva, lo que significa que la productividad de un factor aumenta a medida que se usa más de ese factor. $\rho>1$

Con respecto a las isocuantas, puede encontrarlas reescribiendo la función de producción como . En el CES genérico, esto es $x_2=g(y,x_1)$

x_{2} = {(y^{ρ} - x_{1}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$x_2 = \left(y^{\rho} - x_1^{\rho}\right)^\frac{1}{\rho}$

$\rho=1$ $x_2=\frac{y}{x_1}$ $\rho>1$ $\rho=2$

x_{2}^{2} = y^{2} - x_{1}^{2}

$x_2^2 = y^2 - x_1^2$

$(0,0)$ $y$ $x_i \geq 0$ $y$

$\hskip3cm$

(Código para reproducir la figura aquí )

— luchonacho
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3

Aquí está mi intento de esta pregunta, está incompleto y / o incorrecto, así que por favor ayude a hacer sugerencias y lo editaré.

Minimización de costos

$f(x_1,x_2)$

x_{1} (p, y) = q^{2} a n d x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} < w_{2}

$x_1(p,y)=q^2 \quad and \quad x_2(p,y)=0 \quad\quad if\quad w_1< w_2$

x_{1} (p, y) = 0 a n d x_{2} (p, y) = q^{2} i f w_{1} > w_{2}

$x_1(p,y)=0 \quad and \quad x_2(p,y)=q^2 \quad\quad if\quad w_1>w_2$

x_{1} (p, y) = 0, x_{2} (p, y) = q^{2} o r x_{1} (p, y) = q^{2}, x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} = w_{2}

$x_1(p,y)=0 , x_2(p,y)=q^2 \quad or \quad x_1(p,y)=q^2 , x_2(p,y)=0 \quad if\quad w_1=w_2$

C (w, y) = m i n [w_{1} q^{2}, w_{2} q^{2}]

$C(w,y)=min[w_1q^2,w_2q^2]$

$f(tx_1,tx_2)<tf(x_1,x_2) \quad\forall \quad t>1$

— Sher Afghan
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1

(x_{1}^{ρ} + x_{2}^{ρ})^{θ / ρ}

$(x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{\theta/\rho}$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

ρ < 1

$\rho<1$

θ

$\theta$

ρ \to \infty

$\rho\rightarrow \infty$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

θ

$\theta$

ρ > 1

$\rho>1$

θ

$\theta$

θ \leq 1

$\theta \leq 1$

θ > 1

$\theta >1$

1

Si existe una solución al problema de maximización de beneficios, depende adicionalmente de la estructura del mercado. El problema de maximización de beneficios de un monopolista generalmente todavía está bien definido, mientras que para las empresas que toman precios este no será el caso.

— HRSE

0

$\rho \geq 1$

$r$ $w$

$w=1$ $\pi(q)$ $p>0$ $\rho=2$

π (q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^{2} - 1)^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^2 - 1)^{1/2}$

$\pi'' >0$

Para ver el mismo efecto en un ejemplo más simple ( no derivado de CES), considere esto:

π (q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1/2}$

$\pi'' = (1/2)q^{-3/2} > 0$

$q^{1/2}$ $q^2$ $p=1.7$

— garej
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