Utilidades no únicas en un equilibrio competitivo

En continuación a esta pregunta: Singularidad de las utilidades en el equilibrio competitivo Creo que encontré un ejemplo simple en el que las utilidades en el equilibrio no son únicas y quería comprobar si es cierto.

Esta es una economía de intercambio con dos bienes y dos agentes con servicios públicos:

u_{1} (x, y) = 2 x + y

$u_1(x,y)=2x+y$

u_{2} (x, y) = 3 x + y

$u_2(x,y)=3x+y$

Inicialmente, cada agente tiene 1 unidad de 5 unidades de . $x$ $y$

Supongamos que . Entonces, cada vez que , la economía está en equilibrio, ya que el agente 1 quiere vender toda su dotación y el agente 2 quiere comprar todo . Entonces las utilidades de equilibrio serán: $p_y=1$ $p_x\in[2,3]$ $x$ $x$

u_{1} = 5 + p_{x}

$u_1 = 5+p_x$

u_{2} = 11 - p_{x}

$u_2 = 11-p_x$

Esto muestra que las utilidades no son únicas.

A. ¿Son correctos mis cálculos?

B. Si están en lo correcto, ¿qué sucederá en una economía realmente competitiva? Dado que los equilibrios son esencialmente diferentes, ¿cuál de ellos prevalecerá?

EDITAR: Después del libro de teoría de precios nuevamente, no estoy seguro acerca de mis cálculos. El libro define un equilibrio competitivo como una situación en la que la suma de las demandas es exactamente igual a la suma de las dotaciones. La demanda de un agente se define como el paquete óptimo que puede pagar utilizando su dotación inicial. Ahora:

$p_x<3$ $(1+5/p_x,0)$ $x$ $y$ $x$ $p_x\geq 5$
$p_x>3$ $(0,5+p_x)$ $y$
$p_x=3$ $x$ $y$ $(0,5+p_x)=(0,8)$
$p_x=3$ $(0,8)$ $(2,2)$

Ahora estoy confundido: ¿el vector de utilidad es único o no?

general-equilibrium competitive-equilibrium

— Erel Segal-Halevi
fuente

A. Su cálculo parece ser correcto. B. Al igual que en la teoría de juegos, si tienes equilibrios múltiples y deseas seleccionar uno, necesitas suposiciones adicionales.

— Giskard

Esta respuesta responde a la pregunta editada (2015.10.16 ca. 12:30 CET).

$p_x \in [0,2]$ $x$ $p_x$ $y$

$p_x <3$ $x$ $p_x > 2$ $x$ $p_x$ $p_x \leq 2, \ p_x \geq 3$

— Giskard
fuente

Según tengo entendido, la definición de la "demanda" de un agente es: el paquete óptimo que está en el conjunto de presupuesto del agente . Por lo tanto, no puede haber una demanda infinita porque el presupuesto es finito.

— Erel Segal-Halevi

(1 + 5 / p_{x}, 0)

$(1+5/p_x,0)$

x

$x$

Según tengo entendido, la idea de la teoría de los precios es que cada agente tiene que conocer solo su propio paquete y el vector de precios; NO tiene que conocer los paquetes de otros jugadores, ya que toda la información sobre los paquetes de otros jugadores ya es transmitida por el vector de precios. El precio se determina de tal manera que toda la demanda coincida exactamente con la oferta.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi Entiendo a qué te refieres. Después de haber pensado en esto, no veo contradicción, tal vez ese precio siempre exista. Wikipedia dice que el equilibrio general es único con algunas condiciones: en.wikipedia.org/wiki/General_equilibrium_theory#Uniqueness

— Giskard