¿Por qué se utiliza la derivada para representar el costo marginal en lugar de la diferencia?

El costo marginal se define como "el cambio en el costo total que surge cuando la cantidad producida se incrementa en una unidad". Y dada una función de costo total que es diferenciable, el costo marginal es la derivada, C ' ( q ) . Pero si me dieran C y me preguntaran el costo que surge cuando la cantidad producida aumenta de 2 a 3, simplemente calcularía C ( 3 ) - C ( 2 ) ; No es necesario llevar el cálculo a la imagen. En general, C ( 3 ) - C $C(q)$$C'(q)$$C$$C(3)-C(2)$ . Por ejemplo, si C ( q ) = q 2 , entonces C ( 3 ) - C ( 2 ) = 5 , pero C ′ ( 2 ) = 4 .$C(3)-C(2) \neq C'(2)$$C(q) = q^2$$C(3)-C(2) = 5$$C'(2) = 4$

Por lo tanto, mi pregunta es: ¿por qué se utiliza la derivada para representar el costo marginal en lugar de la diferencia?

Nota: Pensé que esta pregunta debe haber sido lo que se pregunta aquí , pero evidentemente no; allí lo que se pregunta es (esencialmente) por qué .$C'(3) \neq C(3)-C(2)$

La derivada se usa en algunos contextos, pero no en todos, cuando la función de costo es diferenciable. En esos contextos, se supone que la oferta es continua, no discreta. Esta es una cuestión de convención y de conveniencia analítica. Tiene la ventaja de ser consistente, ya sea que se acerque al punto de suministro desde arriba o desde abajo.

Pero en otros contextos, dada su función de costo, suponiendo que lo que se suministra es discreto y no continuo (es decir, es posible suministrar 2 unidades o 3 unidades, pero no 2.9 o 3.5 o cualquier otra unidad fraccional), entonces el marginal El costo del tercer artículo es de hecho 5, no 4.

Para ayudarlo a discernir los dos, intentemos explicar con palabras y comprender qué información obtenemos de la derivada y de la diferencia, respectivamente:

1. La derivada le brinda información sobre el cambio en el costo en relación con el cambio en la cantidad producida , en un punto específico (local) (cantidad) ¹ . En otras palabras, está midiendo el cambio en el costo en términos de cambio en la cantidad. Más matemáticamente, la derivada del costo con respecto a la cantidad le da la tasa de cambio del costo sobre la tasa de cambio en la cantidad o la pendiente de la curva de costo .

2. $C(3) − C(2) = 5$

Para concluir, la diferencia entre los dos es la información que le brindan, a saber:

• derivado: tasa de cambio de costo en términos de cantidad.

• diferencia: diferencia entre el costo total de dos cantidades.

^{$2$$C(q) = q^2$$C′(2) = 4$$4$}

^{$C(3) − C(2) = 5$}

$C(q) = q^2$$C(q)$

$\frac{C(3)-C(2)} {3-2}$$q$$q = 3$

$(q,C)$$q$$0$$q$$2 \leq q \leq 3$