¿Son las preferencias monótonas y continuas necesariamente racionales?

Sea una relación de preferencia estrictamente monotónica y continua, y sea X = \ mathbb {R} ^ {n} el conjunto de consumo.$\succsim$$X=\mathbb{R}^{n}$

¿La racionalidad de $\succsim$ implícita en estas condiciones?

Creo que la transitividad está implícita en la continuidad. Sin embargo, la integridad es preocupante, ya que hay elementos $x,y \in X$ que no se pueden ordenar con respecto a $\leq$ o $\geq$ , por lo que no podemos usar la monotonicidad para mostrar que $\succsim$ está completo.

He pensado en construir una secuencia $x_{n}$ con $x_{1}=x$ tal que $x_{n} \to y$ y $x_{n}\succsim x_{n+1}$ o $x_{n+1} \succsim x_{n}$ . Luego, por transitividad y continuidad, podríamos mostrar que $x$ e $y$ se pueden ordenar con respecto a $\succsim$ , pero no creo que sea posible construir tal secuencia.

Se agradecería cualquier ayuda, pero por favor brinde sugerencias y no soluciones completas.

Considere una relación de preferencia en tal que y . x=( x 1 , x 2 )≿( y 1 , y 2 )=$\mathbb{R}^2$$x=(x_1,x_2)\succsim (y_1,y_2)=y$ $\iff$ x 2 ≥ y $x_1\geq y_1$$x_2\geq y_2$

1) Es posible que desee discutir si esta relación de preferencia es estrictamente monotónica y continua.

2) ¿Está completa la relación definida anteriormente?

Luego, como guarnición, también podría reconsiderar su afirmación de que la continuidad es la causa de la transitividad.

Nota: Acabo de escribir este en particular con el propósito de proporcionar un experimento mental. Más en una forma de desafiar su comprensión. No estoy seguro de si este ejemplo proporciona una respuesta a su pregunta o no.

La pregunta es si la racionalidad está implicada por la continuidad y la monotonicidad. Para demostrar que este no es el caso, un contraejemplo sería suficiente. Por lo tanto, estamos buscando una relación de preferencia continua intransitiva, incompleta, monótona.

Supongamos que . Por lo tanto, formamos preferencias sobre puntos de una línea de a . Considere la relación de preferencia definida por que, de lo contrario, está incompleta.( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) ≻ ( .5 $X=\{x\geq 0,y\geq 0:x+y=1\}$$(0,1)$$(1,0)$$(1,0) \succ (.5,.5) \succ (0,1) \succ (1,0)$

Racionalidad

La racionalidad consiste en la integridad y transitividad de la relación de preferencia, definida de la siguiente manera:

Lo completo

Una relación de preferencia está completa, si para todo , tenemos , , o ambos.x ≿ y y ≿ $x,y \in X$$x\succsim y$$y\succsim x$

$(.5,.5)\not \succsim (.5,.5)$ , por lo tanto, la relación de preferencia no está completa.

Transitividad

Una relación de preferencia es transitiva, si e implican .y ≿ z x ≿ $x\succsim y$$y \succsim z$$x\succsim z$

( .5 , .5 ) ≿ ( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) ≿ ̸ ( 0 , 1 $(1,0)\succsim (.5,.5)$ y mantienen pero , por lo tanto, la relación de preferencia No es transitivo.$(.5,.5) \succsim (0,1)$$(1,0)\not \succsim (0,1)$

Continuidad

Una relación de preferencia es continua si para todas las secuencias converge a con tenemos . (x,y)∀i: x i ≿ y i x≿${(x_i,y_i)}_{i=1}^{\infty}$$(x,y)$$\forall i: x_i \succsim y_i$$x \succsim y$

La relación de preferencia no viola la continuidad. Considere una secuencia que converge a . Estas secuencias solo pueden ser tales que e , y , ya que todas las demás no convergen a , o no cumplen . Pero claramente si entonces . x , y x i = x y i = y x ≠ y x i , y i x , y x i ≿ y i x i ≿ y i x ≿ $x_i \succsim y_i$$x,y$$x_i=x$$y_i=y$$x\neq y$$x_i,y_i$$x,y$$x_i \succsim y_i$$x_i\succsim y_i$$x\succsim y$

Monotonicidad

Una relación de preferencia es monótona, si implica .$x \geq y$$x \succsim y$

La relación considera todos los elementos de incomparables, por lo tanto, la relación de preferencia es monótona.$\geq$$X$

Por lo tanto, tenemos una relación de preferencia intransitiva, incompleta, monótona y continua.

La transitividad de las preferencias apela a alguna noción "intuitiva" de "consistencia de la mente humana" y se puede argumentar que cualquier excepción son las "excepciones a la regla ", por lo que tenemos una regla abstracta adecuada.

En comparación, la integridad es mucho más un "salto de fe". Se cuelga en el aire, derivado de nada, relacionado con nada ( por lo que la respuesta a su pregunta es no ). Tal vez pueda ser respaldado por algún comentario vulgar de que "si presionas a una persona lo suficiente, eventualmente ordenará cualquier par que pongas delante de él, aunque solo sea para deshacerte de ti", pero por supuesto esto, mientras mira bueno en la práctica, nunca funcionará en teoría.

Así que simplemente definimos la Completitud para existir ... ¿por qué? Para evitar problemas bastante inmanejables en el futuro. ¿Qué tan útil será trabajar con preferencias no completas? ¿Qué tan útil sería decir "Tengo este modelo, puede resultar, puede que no, dependiendo de si las preferencias están completas o no" ... ¿de qué sirve? Entonces nos veríamos obligados a idear una regla de decisión alternativa : "Suponiendo que las preferencias no están completas, entonces si la persona encuentra un par que no puede ordenar ...", ¿ qué hace ? ¿Lanza una moneda? Pero esto haría "incompletitud" equivalente a indiferencia ...

¿Qué más? Esta línea de pensamiento puede ser muy estimulante, pero también es muy desafiante, y ciertamente innovadora, si es que tal camino existe o puede crearse. (En mi opinión, varias exploraciones teóricas de la variedad "difusa" intentan encontrar una "vía intermedia" para exactamente este problema, donde consideran una situación en la que la persona no tiene preferencias completas, ni está completamente "congelada" cuando un "difícil" "aparece el par).