Crecimiento estocástico en tiempo continuo

Literatura: Ver Chang (1988) para la parte teórica y Achdou et al. (2015) por parte numérica respectivamente.

Modelo

Considere el siguiente problema de crecimiento óptimo estocástico en notación per cápita. todo es estándar excepto que es el incremento de un proceso estándar de Wiener, es decir, . La tasa de crecimiento de la población tiene media y varianza .

\begin{aligned} max_{c} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. & d k = [f (k) - (n - σ^{2}) k - c] d t - σ k d z \\ c \in [0, f (k)] \\ k (0) = k_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &\max_{c}\int^\infty_0 e^{-\rho t}u(c)dt\\ \text{s.t.}~~~& dk = [f(k) - (n-\sigma^2) k - c]dt - \sigma kdz\\ &c\in[0,f(k)]\\ &k(0) = k_0 \end{align}$

d z

$dz$

z (t) \sim N (0, t)

$z(t)\sim\mathcal{N}(0,t)$

n

$n$

σ^{2}

$\sigma^2$

Solucion analitica

Suponemos que la tecnología Cobb-Douglas

\begin{aligned} f (k) = k^{α}, α \in (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} f(k) = k^\alpha,\quad \alpha\in(0,1) \end{align}$

y la utilidad CRRA

\begin{aligned} u (c) = \frac{c^{1 - γ}}{1 - γ}, γ > 1. \end{aligned}

$\begin{align} u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma},\quad \gamma > 1. \end{align}$ Configure el Hamilton-Jacobi -Ecuación de Bellman (HJB-e)

\begin{aligned} ρ v (k) = max_{c} {\frac{c^{1 - γ}}{1 - γ} + v^{'} (k) (k^{α} - (n - σ^{2}) k - c) + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \max_c\left\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} + v'(k)(k^\alpha - (n - \sigma^2)k - c) + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}\right\} \end{align}$

La condición de primer orden (FOC) lee

\begin{aligned} c = v^{'} (k)^{- \frac{1}{γ}} =: π (k) \end{aligned}

$\begin{align} c = v'(k)^{-\frac{1}{\gamma}}=:\pi(k) \end{align}$ where

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$ denota la función de política.

Reemplace FOC en HJB-e

\begin{aligned} ρ v (k) = \frac{v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}}}{1 - γ} + v^{'} (k) k^{α} - v^{'} (k) (n - σ^{2}) k - v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}} + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \frac{v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{1-\gamma} + v'(k)k^\alpha - v'(k)(n - \sigma^2)k - v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}. \end{align}$

Suponemos una forma funcional de con ( Posch (2009, eq. 41) ) $v(k)$

\begin{aligned} v (k) = Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \Psi \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} \end{align}$

donde es algo constante. La derivada de de primer y segundo orden viene dada por $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v^{'} (k) & = Ψ k^{- α γ} \\ v^{″} (k) & = - α γ Ψ k^{- 1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v'(k) &= \Psi k^{-\alpha\gamma}\\ v''(k) &= -\alpha\gamma\Psi k^{-1-\alpha\gamma}. \end{align}$

El HJB-e luego lee

\begin{aligned} ρ Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} = \frac{Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)}}{1 - γ} + Ψ k^{α (1 - γ)} - (n - σ^{2}) Ψ k^{1 - α γ} - Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)} - α γ Ψ k^{1 - α γ} \frac{σ^{2}}{2} \\ ⟺ & k^{1 - α γ} (\frac{ρ}{1 - α γ} + n - σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) = k^{α (1 - γ)} [1 + Ψ^{- \frac{1}{γ}} \frac{γ}{1 - γ}] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho \Psi\frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} = \frac{\Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}k^{\alpha(1-\gamma)}}{1-\gamma} + \Psi k^{\alpha(1-\gamma)} - (n-\sigma^2) \Psi k^{1-\alpha\gamma} - \Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} k^{\alpha(1-\gamma)} - \alpha\gamma\Psi k^{1-\alpha\gamma}\frac{\sigma^2}{2}\\[2mm] \Longleftrightarrow \quad & k^{1-\alpha\gamma}\left(\frac{\rho}{1-\alpha\gamma} + n - \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right) = k^{\alpha(1-\gamma)}\left[1+\Psi^{-\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma}{1-\gamma}\right] \end{align}$

La HJB-e maximizada es verdadera si las siguientes condiciones se mantienen

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) \land Ψ = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma)\quad \wedge \quad \Psi = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \end{align}$

Vuelva a sustituir en que finalmente da la función de valor verdadero $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v (k) = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma}. \end{align}$

¿Cómo es que no depende de ? $v$ $\sigma$

Entonces la función de valor determinista y estocástico debe ser la misma. Luego, la función de política viene dada por (use FOC y derivada de la función de valor)

\begin{aligned} π (k) = (1 - \frac{1}{γ}) k^{α} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi(k) = \left(1-\frac{1}{\gamma}\right)k^\alpha. \end{align}$

Tenga en cuenta que esta función tampoco depende de . $\sigma$

Aproximación numérica

Resolví el HJB-e mediante un esquema a favor del viento. Tolerancia de error . En la figura siguiente, trazo la función de política para variar . Para llego a la verdadera solución (púrpura). Pero para la función de política aproximada se desvía de la verdadera. Cuál no debería ser el caso, ya que no depende de , ¿verdad? $\epsilon=1e-10$ $\sigma$ $\sigma\to 0$ $\sigma>0$ $\pi(k)$ $\sigma$

¿Alguien puede confirmar que las funciones de política aproximadas deberían ser las mismas para cualquier , ya que la verdadera es independiente de ? $\sigma$ $\sigma$

— despistado
fuente

Lo que me molesta aquí es la primera condición "iff" después de escribir "la HJB-e maximizada es verdadera si se cumplen las siguientes condiciones": esta es una relación de igualdad muy específica que debe mantenerse entre todos los parámetros de los parámetros de preferencia del modelo , crecimiento demográfico, productividad del capital y volatilidad. Me pregunto: ¿podemos realmente trabajar con funciones adivinadas cuya validez dependa de una condición tan estrecha en los parámetros?

— Alecos Papadopoulos

Bueno, aquí realmente arreglo en función de los cuatro parámetros restantes. Entonces la ecuación siempre es verdadera si además, cumple. Me pregunto: ¿hay alguna regla cuando adivinar una función no está permitida? Quiero decir, estamos interesados en encontrar la solución verdadera y bajo algunas condiciones específicas obtenemos la solución verdadera. No estoy seguro de lo que te molesta aquí desde un punto de vista teórico. Claro, puede limitar el trabajo empírico, pero ese no es el punto aquí. Estamos bastante interesados en resolver el HJBe y eso se puede hacer. If an empiricist (1/2)

ρ = ρ (α, γ, n, σ)

$\rho = \rho(\alpha, \gamma, n, \sigma)$

ρ > 0

$\rho > 0$

— despistado el

estima y encontramos que se viola la condición , entonces podemos rechazar el modelo. Sin embargo, la solución sigue siendo cierta en principio. (2/2)

{α, γ, n, ρ, σ}

$\{\alpha, \gamma,n,\rho,\sigma\}$

ρ = . . . .

$\rho = ....$

— despistado el

Mi preocupación no es sobre la validez empírica. Lo que me pregunto es, en qué medida la suposición específica sobre la forma funcional de la función de valor depende de esta relación entre los parámetros. Sin referencia a ningún dato empírico, si suponemos que la relación no es válida, ¿entonces qué? ¿Deberíamos adivinar una función de valor que ni siquiera es exponencial en , o sería suficiente para mantener la estructura exponencial pero intentar diferentes formas de incluir los parámetros en ella? (por cierto, también estoy investigando su pregunta principal, ya que esta discusión es probablemente periférica)

k

$k$

— Alecos Papadopoulos

¿Está seguro de que el problema de optimización se indica correctamente? No hay, por ejemplo, una expectativa operada en decir, ? Como se indica ahora, y por lo tanto probablemente asuman cualquier valor dado el proceso de Wiener .

f (k)

$f(k)$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

z

$z$

— Hans

Más de un comentario:

Debe haber un operador de expectativa en la declaración del problema, de lo contrario, el problema no tiene sentido.

Que "... la función de valor determinista y estocástico debe ser la misma ..." no está del todo bien. El valor de es crucial en la restricción $\sigma^2$

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma). \end{align}$

Si , entonces presumiblemente para y económicamente razonables , en cuyo caso el problema determinista puede estar mal planteado. Lo que es cierto es que la función de valor estocástico toma la forma dada solo si la restricción del parámetro se cumple. $\sigma^2 = 0$ $\rho < 0$ $\alpha$ $\gamma$

Factorizando el término Ito desde el lado derecho $\frac{1}{2} \sigma^2$

σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2}) (1 - α γ),

$\sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right) (1-\alpha\gamma),$

la restricción se puede escribir como

ρ + n (1 - α γ) = \frac{1}{2} σ^{2} [(1 - α γ) - (- {(1 - α γ)}^{2})] .

$\rho + n (1-\alpha\gamma) = \frac{1}{2} \sigma^2 [ (1-\alpha\gamma) - (-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2)].$

En el lado derecho, tenemos una elasticidad del término de sustitución intertemporal y un término de aversión al riesgo . Lo que dice la restricción es que, con una elección particular de , se compensan entre sí, hasta la preferencia de tiempo y la deriva . Por lo tanto, la función de valor es independiente de . $(1-\alpha\gamma)$ $-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2$ $\sigma$ $\rho$ $n(1 - \alpha\gamma)$ $\sigma$

Que la función de valor sea independiente de es un artefacto de la restricción y la elección de CRRA . No es cierto en general. $\sigma$ $u$

— Miguel
fuente