Linealización de registros

Considere algunos datos de series de tiempo $ X = \ {x_t: t \ en [0, \ infty) \} $. Definir un estado estacionario por \ begin {align} x \ en X: x_ {t + 1} - x_t = 0 \ end {align}

y la desviación de registro de estado estable con \ begin {align} \ hat x_t: = \ ln x_t - \ ln_x. \ end {align}

Ahora podemos expresar $ x_t $ como \ begin {align} x_t = x \ exp (\ hat x_t). \ end {align}

Considera la siguiente ecuación \ begin {align} a_t = b_t c_t ^ \ alpha + D \ mathbb {E} _t \ left [\ left (\ frac {e_ {t + 1}} {e_t} \ right) \ left (\ frac {f_t} {g_t} \ right ) ^ \ beta a_ {t + 1} \ derecha] \ end {align} donde $ D $ es una constante, que se debe linealizar por registro para cada variable dependiente del tiempo alrededor del estado estacionario.

Primer intento

Expresa cada variable por su nueva definición, es decir. \ begin {align} a \ exp (\ hat a_t) = bc ^ \ alpha \ exp (\ hat b_t + \ alpha \ hat c_t) + D \ left (\ frac {f} {g} \ right) ^ \ beta a \ mathbb {E } _t \ left [\ exp (\ hat e_ {t + 1} - \ hat e_t + \ beta (\ hat f_t - \ hat g_t) + \ hat a_ {t + 1}) \ right] \ end {align}

lo que debería simplificar a \ begin {align} \ exp (\ hat a_t) = \ exp (\ hat b_t + \ alpha \ hat c_t) + \ mathbb {E} _t \ left [\ exp (\ hat e_ {t + 1} - \ hat e_t + \ beta ( \ hat f_t - \ hat g_t) + \ hat a_ {t + 1}) \ right] \ end {align}

¿Es esto correcto?
¿Qué se puede hacer para mejorar / simplificar aún más la ecuación en cuestión?

steady-state

— clueless
fuente

Mi respuesta a esta pregunta puede ser de ayuda

— cc7768

@ cc7768 OMI, su respuesta vinculada está cerca de ser canónica. Pero esta pregunta aquí es probablemente la que principalmente llamará la atención de los futuros usuarios sobre el tema (debido a su título más general). Quizás desee considerar volver a publicar la respuesta aquí con cualquier ajuste necesario, y luego podríamos marcar como duplicado cualquier pregunta futura sobre la linealización de registros.

— Alecos Papadopoulos

La linealización sin @lar implica una expansión de Taylor. Para realizar una expansión de Taylor, uno tiene que especificar con respecto a qué variables debe calcularse. Tu ecuación tiene muchas cantidades variables en el tiempo. ¿Debería tomarse la expansión de Taylor con respecto a todos ellos? Un subconjunto de ellos? (En un entorno intertemporal, generalmente consideramos las expansiones de Taylor con respecto a todas las variables que tienen un valor de estado estable). Por favor incluya esta información en la pregunta.

— Alecos Papadopoulos

Si tengo tiempo más tarde hoy (tengo un coautor en la ciudad), intentaré reformular esa respuesta para que sea apropiada para esta pregunta. Estoy de acuerdo en que esta es la pregunta de linealización de logs que obtendrá más tráfico. Si alguien más quisiera responder esto con alguna de mis respuestas (o solo con su propia respuesta), eso facilitaría mi vida, pero si nadie la ha respondido al día siguiente, me sentaré y escribiré algo.

— cc7768

Intenté aclarar la exposición y dio una primera pista de solución.

— clueless