Adivina y verifica

En la programación dinámica, el método de coeficientes indeterminados a veces se conoce como "adivinar y verificar". Periódicamente escuché que hay suposiciones canónicas que uno podría hacer.

En particular, he visto

$V(k) = A + B\ln(k)$

$V(k) = \frac{Bk^{1-\sigma}}{1-\sigma}$

El primero se aplica a la utilidad de registro, mientras que el segundo está relacionado con las preferencias de CRRA. ¿Qué otras conjeturas canónicas existen, y están generalmente vinculadas a la forma particular de la función de retorno?

Editar : Para aquellos que no están familiarizados con los programas dinámicos, lo que estamos tratando de hacer aquí es crear formas cerradas para los coeficientes ( por ejemplo, y ). Para simplificar en exceso, la ecuación funcional generalmente toma la forma genérica , donde describe la evolución de la variable de estado . Esencialmente, el valor de estar en el estado hoy depende de la función de retorno de hoy y algún valor descontado de lo que será mañana . $A$ $B$ $V(k) = \max\bigl\{F(k,u) +\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)\bigr\}$ $g(\cdot,\cdot)$ $k$ $k$ $F(k,u)$ $k$ $\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)$ $u$ representa cualquier otra variable no estatal que creas que influye en el rendimiento.

A veces es posible obtener una solución de forma cerrada para $V(k)$ (... nota: no solo resolvemos para $V(k)$ ya que el lado derecho es una cantidad maximizada). Esto generalmente implica saber algo sobre la función de retorno $F(k,u)$ y luego adivinar la forma funcional de $V(k)$ . Luego podemos iterar para ver si nuestra suposición produce una solución de forma cerrada para $V(k)$ . En particular, esto incluiría formas cerradas para los coeficientes en la suposición (de ahí el método de coeficientes indeterminados).

macroeconomics dynamic-programming

— Pat W.
fuente

Depende de qué tipo de datos tenga. En general, se pueden tomar casi todas las funciones. Pero si cree que los datos se distribuyen como una función de utilidad, puede tomar En este caso puede linealizar la ecuación: Para estimar los coeficientes y , puede aplicar el método de mínimos cuadrados: en.wikipedia.org/wiki/Least_squares

U (x, y) = x^{α} \cdot y^{β}

$U(x,y)=x^{\alpha}\cdot y^{\beta}$

l n (U) = α \cdot l n (x) + β \cdot l n (y)

$ln(U)=\alpha\cdot ln( x)+\beta \cdot ln(y)$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— callculus

@ cálculo No está preguntando sobre la estimación de y . Él está preguntando acerca de la programación dinámica y el método de adivinar y verificar como método para obtener la función de valor que corresponde con funciones de utilidad específicas.

α

$\alpha$

β

$\beta$

— cc7768

@ cc7768 Esta pregunta no es muy específica. No sé qué significaba el OP por programación dinámica en este contexto. Solo quería dar algunas pistas. Tenía la impresión de que el OP no estaba seguro de lo que estaba preguntando. El OP puede hacer una edición para aclarar.

— callculus

Otra forma algo canónica es la función de valor para las preferencias sensibles al riesgo cuando el consumo sigue una caminata aleatoria con deriva (también hay versiones que incluyen capital, ver Backus Ferriere Zin 2014).

c_{t} = μ + c_{t - 1} + σ_{c} ε_{t}

$c_t = \mu + c_{t-1} + \sigma_c \varepsilon_{t}$

Comience con las preferencias dadas como Epstein-Zin con una función de equivalencia de certeza de la forma : $\mu_t(x) = E_t[x_{t+1}^\alpha]^{\frac{1}{\alpha}}$

V_{t} = {((1 - β) C_{t}^{ρ} + β μ_{t} (V_{t + 1}))}^{\frac{1}{ρ}}

$V_t = \left( (1 - \beta) C_t^{\rho} + \beta \mu_t(V_{t+1}) \right)^{\frac{1}{\rho}}$

entonces dejar que nos dé $\rho \rightarrow 0$

V_{t} = C_{t}^{1 - β} {[μ_{t} (V_{t})]}^{β}

$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[\mu_t(V_t) \right]^{\beta}$

V_{t} = C_{t}^{1 - β} {[E_{t} [V_{t}^{α}]^{\frac{1}{α}}]}^{β}

$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[E_t[V_t^{\alpha}]^{\frac{1}{\alpha}} \right]^{\beta}$

Tomar registros nos da preferencias sensibles al riesgo como se presenta en Hansen Sargent 1995, Tallarini 2000, etc.

Defina y luego vemos que: $U_t = \log(V_t)/(1-\beta)$ $\theta = \frac{-1}{(1-\beta) \alpha}$

U_{t} = \log (C_{t}) - β θ \log [E_{t} [\exp (\frac{- U_{t + 1}}{θ})]]

$U_t = \log(C_t) - \beta \theta \log \left[ E_t \left[ \exp \left( \frac{-U_{t+1}}{\theta} \right) \right] \right]$

La forma de esta función de valor se puede adivinar como:

U_{t} = γ_{0} + γ c_{t}

$U_t = \gamma_0 + \gamma c_t$

Referencias

David Backus, Axelle Ferriere y Stanely Zin. Riesgo y ambigüedad en modelos de ciclos económicos. Conferencia Carnegie-Rochester-NYU. 2014.
Lars Ljunqvist y Thomas J. Sargent. Teoría macroeconómica recursiva, 3a edición. 2013
TD Tallarini Jr. Ciclos comerciales reales sensibles al riesgo. Revista de Economía Monetaria. 2000.
LP Hansen y TJ Sargent. Control gaussiano cuadrático exponencial lineal con descuento. Control automático IEEE Trans. 1995

Comentario adicional: Los dos casos que presenta están más o menos cubiertos por la suposición ya que esto se reduce a registros como . Las conjeturas ciertamente están vinculadas a la forma particular de la función de retorno, ya que la función de valor está relacionada con la función de retorno de un período (recompensa) obtenida repetidamente a lo largo de una historia infinita (si el consumo fuera constante, entonces se reduciría a una suma geométrica). $V(k) = A + B \frac{k^{1-\sigma}}{1 - \sigma}$ $\sigma \rightarrow 1$

— cc7768
fuente

Buen punto sobre las preferencias de registro como un caso especial. Esta es una gran respuesta, y planearé mantener esto abierto un poco más para ver si otros también tienen otras formas canónicas.

— Pat W.