Ejemplos económicos de (sub) martingales

Una martingala (tiempo discreto) es un proceso estocástico que satisface, para todos los , y Y un submartingale es uno con . t ∈ N E ( | X t | ) < ∞ E ( X t + 1 | X 1 , … , X t ） = X t . E ( X t + 1 | X 1 , … , X t ） ≥ X $\{X_t\}_{t\in\mathbb N}$$t\in\mathbb N$

$$E(|X_t|)<\infty$$ $$E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t）=X_t.$$ $E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t）\ge X_t$

Conozco el ejemplo clásico de la recompensa del jugador en un juego justo. Pero espero encontrar otros ejemplos del mundo real de martingales y submartingales, particularmente aquellos relacionados con la economía. Idealmente, estos ejemplos tendrían algún tipo de respaldo empírico.

Aplicando la Ley de Expectativas Iteradas en la propiedad definitoria de una sub-martingala tenemos que$E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t）\ge X_t$

$$E\Big[E(X_{t+1}|X_1,\dots,X_t)\Big]=E(X_{t+1}) \geq E(X_t)$$

Por lo tanto, una sub-martingala también tiene su valor esperado incondicional no decreciente. Por lo tanto, cualquier variable económica que parezca aumentar consistentemente en valor es candidata para ser una sub-martingala, ya que la propiedad definitoria aquí solo condiciona el pasado de la variable, no otros factores que puedan influir en ella. La producción nacional / PIB podría modelarse razonablemente como una sub-martingala, ya que históricamente "siempre" aumenta, excluyendo eventos catastróficos.

En general, cualquier variable económica que pueda modelarse como una caminata aleatoria con deriva no negativa,

$$X_{t+1} = \alpha + X_{t} + u_t,\;\; \alpha \geq 0$$

Es una sub-martingala.