Sesgo de MCO en la estimación de la demanda: ¿el sesgo siempre subestima la elasticidad de la demanda?

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Algunos documentos argumentan que OLS puede producir menos sesgo que la estimación IV, dependiendo de la calidad de sus instrumentos. Supongamos que consideramos una ecuación de estimación de demanda.

Suponga que la elasticidad de la demanda es negativa en MCO. Según mi intuición, los instrumentos débiles deberían producir estimaciones sesgadas hacia MCO, pero no menos negativas. ¿Pueden ustedes producir un ejemplo? Realmente no puedo entender cómo podría conducir a una estimación más sesgada con la estimación IV.

econometrics

— John Doe
fuente

IV es parcial pero consistente, así que imagino que su afirmación es cierta. pero supongo que todo depende de tus objetivos. predicción vs inferencia.

— user157623

¿Cuáles son "algunos documentos" (preferiblemente conocidos o de revisión) a los que se refiere en su primera oración? Estoy interesado en mirarlos. Gracias.

— Kim Jong Un

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Por lo general, . El denominador irá a cero. $\hat{\beta_1^{IV}} = \beta_1 + \frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}$

Eso es cierto a menos que haya alguna correlación entre el instrumento y el término de error, y el nominador es la fuerza de la relación entre el instrumento y la variable endógena. Cuanto más pequeño sea el denominador, mayor será el sesgo . $\left[\frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}\right]$

Además, el instrumento débil no tendrá precisión, por lo que la varianza tendrá un gran sesgo hacia arriba.

\begin{array}{rcl} v un r (\hat{β_{1}}) & \to_{pags} & \frac{σ^{2}}{norte σ_{X}^{2}} \\ \hat{β_{1}^{yo V}} & = & \frac{\sum (z_{yo} - \bar{z}) y_{yo}}{\sum (z_{yo} - \bar{z}) X_{yo}} = β_{1} + \frac{\sum (z_{yo} - \bar{z}) {tu}_{yo}}{\sum (z_{yo} - \bar{z}) X_{yo}} \\ v un r (\hat{β_{1}^{yo V}} & = & v un r (\frac{\sum (z_{yo} - \bar{z}) {tu}_{yo}}{\sum (z_{yo} - \bar{z}) X_{yo}}) \\ v un r (tu El | z) & = & σ^{2} \\ v un r (\hat{β_{1}^{yo V}}) & = & \frac{σ^{2} \frac{1}{norte} \sum (z_{yo} - \bar{z})}{norte [\frac{1}{norte} \sum (z_{yo} - \bar{z}) (X_{yo} - \bar{X})]^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1}) &\to_p& \frac{\sigma^2}{n \sigma^2_x} \nonumber \\ \hat{\beta_1^{IV}} &=& \frac{\sum (z_i - \bar{z})y_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} = \beta_1 + \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \nonumber \\ var(\hat{\beta_1^{IV}} &=& var \left( \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \right) \nonumber\\ var(u | z) &=& \sigma^2 \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &=& \frac{\sigma^2 \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})}{n[ \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})]^2} \nonumber \end{eqnarray}$

Como $n \to \inf$

\begin{array}{rcl} v un r (\hat{β_{1}^{yo V}}) & \to_{pags} & \frac{σ^{2} σ_{z}^{2}}{σ_{z X}^{2}} \\ v un r (\hat{β_{1}^{yo V}}) & \to_{pags} & σ^{2} \frac{1}{norte σ_{X}^{2}} \frac{1}{ρ_{X z}^{2}} \\ ρ_{X z}^{2} & = & \frac{[σ_{X z}^{2}]^{2}}{σ_{X}^{2} σ_{z}^{2}} para ρ \in [0 0, 1] \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \frac{\sigma^2 \sigma_z^2 }{\sigma^2_{zx}} \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \sigma^2 \frac{1}{n \sigma^2_x} \frac{1}{\rho^2_{xz}}\nonumber \\ \rho^2_{xz} &=& \frac{[\sigma^2 _{xz}]^2}{\sigma_x^2 \sigma_z^2} \textit{for} \rho \in [0,1]\nonumber \end{eqnarray}$

Es por eso que si su instrumento es débil, es mejor que ejecute una regresión OLS.

— Nox
fuente

En la ecuación para la primera varianza del estimador IV, creo que falta la varianza del beta imparcial, ¿verdad? Solo asigna la varianza a la porción relacionada con el sesgo del estimador IV. Si me equivoco, explícame lo que me falta.

— John Doe

v a r (u | z) = σ^{2}

$var(u|z)=\sigma^2$

x_{i}

$x_i$

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$\beta_1 + cov(z,u)/cov(z,x)$ $cov(z,u) \ne 0$ $cov(z,x)$ es pequeño, entonces el sesgo puede ser grande. Vea el comentario de Bound, Jaeger y Baker (1995, JASA) siguiendo la ecuación (7) en la página 444.

http://www.djaeger.org/research/pubs/jasav90n430.pdf

$x$ $z_1$ $\varepsilon$ $\beta$

Sin endogeneidad instrumental, no creo que el sesgo del estimador IV (de la distribución límite, puede que no haya límite de probabilidad) sea mayor que la inconsistencia de OLS.

$n$

— chan1142
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