¿Cómo se deriva la elasticidad de sustitución?

Para dos bienes e y , la elasticidad de sustitución se define como σ ≡ d log ( $x$$y$

$$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}}$$

Estoy confundido por dos cosas:

1. ¿Por qué simplemente escribimos ? ¿En qué nos estamos diferenciando con respecto?$d\log\left(\frac{y}{x}\right)$
2. ¿Cómo uso eso para mostrar la relación anterior?

Alguien puede explicar?

Cómo derivar la elasticidad de sustitución

El primer paso es recordar la definición de un diferencial. Si tiene una función , digamos, f ( x 1 , ⋯ , x n ) , entonces: d f = ∂ $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$$f(x_1,\cdots,x_n)$

$${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n.$$

Por ejemplo,

$$d\log v = \frac{1}{v}dv$$

Ahora supongamos que , entonces tenemosdlog(y/x)=d(y/x$v = \tfrac{y}{x}$

$$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$$

y para $v = \tfrac{U_x}{U_y}$

$$d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}$$

En otras palabras, si reduce el problema a (1) comprender la definición de un diferencial y (2) usa un cambio simple de variable , el problema se vuelve muy sencillo.

Entonces obtienes

$$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} }$$

APARTE:

$d(y/x)$

$$d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2}$$

Esto tiene sentido porque

$$d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$$

Y si calculas

$$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$$

$d(U_x/U_y)$

$\sigma$

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¿Qué es la elasticidad de sustitución?

$MRS$