PBE tómalo o déjalo

He encontrado una pregunta interesante mirando el perfecto equilibrio bayesiano. No he visto una pregunta donde las creencias no son discretas.

Hay un único comprador potencial de un objeto que tiene valor cero para el vendedor. La valoración v de este comprador se distribuye uniformemente en [0, 1] y es información privada. El vendedor nombra un precio que el comprador acepta o rechaza. $p_1$

Si acepta, el objeto se negocia al precio acordado y la recompensa del comprador es y la del vendedor es . $v − p_1$ $p_1$

Si rechaza, el vendedor hace otra oferta de precio, p2. Si el comprador acepta esto, su recompensa es y la del vendedor es , donde . $\delta_(v − p_2)$ $\delta p_2$ $\delta = 0.5$

Si rechaza, ambos jugadores obtienen cero (no hay más ofertas).

Encuentre un equilibrio bayesiano perfecto.

Mi enfoque habitual es fijar creencias, pero no sé cómo hacer esto con creencias continuas. ¿Algún consejo?

game-theory academic-graduate bayesian-game

— Brian
fuente

Lo siento, no se me ocurrió una manera fácil de dar consejos parciales. Este es un buen ejercicio. ¿Le importaría (o al creador) si lo usara en clase?

— Giskard

¡Por supuesto, siéntete libre!

— Brian

Después de publicar una mala solución ayer, creo que obtuve una mejor:

La estrategia del comprador consta de dos funciones, donde ambas funciones se asignan a (donde significa Aceptar, para rechazar). La estrategia del vendedor es $(f_1(v,p_1),f_2(v,p_1,p_2))$ $\left\{A,R\right\}$ $A$ $R$ $(p_1,p_2(f_1(v,p_1)))$ $f_2(v,p_1,p_2)$ $A$ $v \geq p_2$ $H$ $p_1$

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (f_{2} (v, p_{1}, p_{2}) = A | f_{1} (v, p_{1}) = R) .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(f_2(v,p_1,p_2) = A | f_1(v,p_1) = R).$

p_{1}

$p_1$

v - p_{1} \geq δ \cdot (v - p_{2}) .

$v - p_1 \geq \delta \cdot (v - p_2).$

v \cdot (1 - δ) \geq p_{1} - δ \cdot p_{2} .

$v \cdot (1 - \delta) \geq p_1 - \delta \cdot p_2.$ El lado izquierdo de esta ecuación está aumentando en , por lo que los tipos con alta valoración aceptarán. Esto significa que en PBE el conjunto es tal que De esto obtenemos el óptimo dado : En PBE es una función de : entonces Hemos determinado todas las estrategias de PBE pero

v

$v$

H

$H$

H = [0, \bar{v}) .

$H = [0, \bar{v}).$

p_{2}

$p_2$

\bar{v}

$\bar{v}$

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (v \geq p_{2} | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2} .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(v \geq p_2 | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2}.$

\bar{v}

$\bar{v}$

p_{1}

$p_1$

\bar{v} \cdot (1 - δ) = p_{1} - δ \cdot \frac{\bar{v}}{2},

$\bar{v} \cdot (1 - \delta) = p_1 - \delta \cdot \frac{\bar{v}}{2},$

\bar{v} = \frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}} .

$\bar{v} = \frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}.$

p_{1}

$p_1$ . La recompensa esperada del vendedor es donde Sustituyendo esto obtenemos

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1})) \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ} - p_{2} (\bar{v} (p_{1}))),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot p_2(\bar{v}(p_1)) \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} - p_2(\bar{v}(p_1)) \right),$

p_{2} (\bar{v} (p_{1})) = \frac{\bar{v} (p_{1})}{2} = \frac{\frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}}}{2} = \frac{p_{1}}{2 - δ} .

$p_2(\bar{v}(p_1)) = \frac{\bar{v}(p_1)}{2} = \frac{\frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}}{2} = \frac{p_1}{2 - \delta}.$

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ} \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ} - \frac{p_{1}}{2 - δ}),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1}{2 - \delta} \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} - \frac{p_1}{2 - \delta} \right),$

Tienes que maximizar este wrt . Con obtuve $p_1$ $\delta = 0.5$

p_{1}^{*} = \frac{9}{20}, \bar{v} = \frac{3}{5}, p_{2}^{*} = \frac{3}{10} .

$p_1^* = \frac{9}{20}, \hskip 20pt \bar{v} = \frac{3}{5}, \hskip 20pt p_2^* = \frac{3}{10}.$

— Giskard
fuente

Siento que esta pregunta también se puede interpretar como una empresa que intenta evaluar a los consumidores de diferentes valoraciones representadas como el intervalo de la unidad cerrada. El esquema de fijación de precios óptimo es establecer dos precios para que los clientes de valoraciones altas paguen a un precio más alto en la primera etapa, y algunos de las valoraciones bajas pagarán a un precio más bajo en la segunda etapa.

— Metta World Peace

Debe explicar por qué las utilidades son diferentes en la ronda 2. Para el vendedor, podría ser un simple descuento, ¿pero para el comprador? Si el bien fuera duradero, los tipos que lo compren recibirían algunos beneficios en ambas rondas.

— Giskard

No entiendo del todo. ¿Por qué los compradores no pueden descontar la utilidad derivada en la segunda ronda? Esto puede interpretarse como un descremado de precios de dos períodos, ¿verdad?

— Metta World Peace

Vergonzoso, pero nunca he oído hablar de este modelo hasta ahora. Tienes razón, esto describe muy bien el juego anterior.

— Giskard

Usted dijo que el comprador aceptará si y solo si pero ¿no rechazará el comprador si tanto como son mayores que , independientemente de si se satisface la desigualdad anterior?

p_{1}

$p_1$

v - p_{1} \geq δ (v - p_{2})

$v-p_1\ge \delta(v-p_2)$

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$

v

$v$

— Franklin Pezzuti Dyer