¿Qué es un sustituto / complemento en términos de derivados parciales mixtos?

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Estoy tratando de entender cómo se relaciona la sustituibilidad con las derivadas parciales mixtas. Pensé que el cambio en la utilidad marginal con respecto a un cambio en la cantidad de correspondería a $x$ así que me confundí cuando tomo el parcial de eso con respecto a. ¿Mide esto la tasa que MU cambia wrtmedida que cambiamos? ¿Cómo se relaciona eso con ser un sustituto?

\frac{\partial U}{\partial X}

$\frac{\partial U}{\partial x}$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

microeconomics

— Stan Shunpike
fuente

Si comenzamos por lo básico: si

es complementario de

entonces

y

$y$

x

$x$

. ¿Derecho?

\frac{d y_{d}}{d p_{x}} < 0

$\frac{dy_d}{dp_x} < 0$

— snoram

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Aquí es muy importante tener en cuenta que existen múltiples posibilidades mutuamente inconsistentes sobre cómo definir un sustituto / complemento.

Una forma es decir que e son complementos si un aumento en aumenta la utilidad marginal de (o, dada la simetría de los parciales mixtos, viceversa): $x$ $y$ $y$ $x$ Esta es la sugerencia en la respuesta de foobar.

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial^{2} U}{\partial X \partial y} > 0 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}>0\tag{1}$

Otra forma es decir que e son complementos si una disminución en el precio de plantea la Hicksiana (también conocido como compensación) la demanda de . Dado que la demanda de Hicks es la derivada de la función de costo (también conocida como gasto) por el lema de Shephard , esto también se puede expresar como una condición en parciales mixtos: $x$ $y$ $y$ $x$ Esta es la sugerencia en el comentario de snoram, y es la noción más comúnmente enseñada en micro clases.

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial^{2} C}{\partial {pags}_{X} \partial {pags}_{y}} < 0 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x\partial p_y}<0\tag{2}$

¡Estas definiciones no son equivalentes! De hecho, en cualquier caso con solo dos bienes, esos dos bienes deben ser sustitutos de acuerdo con (2), independientemente de si el par cruzado de en (1) es positivo o no. $U$

Se pueden dar etiquetas fructíferas a estos conceptos (aunque estas etiquetas son más comunes en el caso de la producción en lugar de las funciones de utilidad). Siguiendo a Hicks, podemos llamar complementos por definición (1) complementos q : si e son complementos q, un aumento en la cantidad de conduce a un aumento en el valor marginal de . Mientras tanto, podemos llamar complementos por definición (2) complementos p : si e son complementos p, una disminución en el precio de conduce a un aumento en la demanda de . Ver, por ejemplo, $x$ $y$ $y$ $x$ $x$ $y$ $y$ $x$ Seidman (1989) para una breve descripción.

Ambos conceptos son útiles en diferentes situaciones, ¡depende de lo que le interese!

Nota más técnica: puede notar que (1) y (2) no parecen muy similares entre sí: (2) es un concepto compensado , que nos mantiene en la misma curva de indiferencia, mientras que (1) no lo es. Esta es una crítica válida, y de hecho hay una noción alternativa de "complementos q" que se compensa, y una noción de "complementos p" que no.

$x$ $y$ $U$ , aunque yo mismo no tengo una copia.) Esta noción también tiene una caracterización parcial mixta, en términos de algo llamado la función de distancia, que es una herramienta genial de micro teoría que ya nadie aprende; la matriz de parciales mixtos de la función de distancia se llama matriz de Antonelli, y es un inverso generalizado de la amada matriz de Slutsky.

$x$ $y$ $y$ $x$

$y$ $x$ $U$

— nominalmente rígido
fuente

¿Puedes aclarar por qué la ecuación 2 implica que deben ser sustitutos?

— Stan Shunpike

\frac{\partial^{2} C}{\partial p_{x} \partial p_{y}} = \frac{\partial (\partial C / \partial p_{x})}{\partial p_{y}} = \frac{\partial h_{x}}{\partial p_{y}}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x \partial p_y} = \frac{\partial(\partial C / \partial p_x)}{\partial p_y} = \frac{\partial h_x}{\partial p_y}$

h_{x}

$h_x$

x

$x$

Sí, pero eso lo dejó claro. Gracias de nuevo por otra respuesta increíble.

— Stan Shunpike

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$x =$ $y =$

$y$ $x$

$U(x, 0) + U(0, y) < U(x,y)$ $x$ $y$

Con nuestros zapatos y juegos de computadora, ciertamente la derivada cruzada es 0. Con helado y cucharas, lo más probable es que sea positivo: tener una cuchara aumenta el beneficio marginal que obtienes del helado, de ahí una correlación cruzada positiva.

Finalmente, piense en el chocolate y el helado. Se podría argumentar que funcionan como sustitutos (piense en el desierto, por ejemplo): uno quiere el uno o el otro. Si los obtienes gratis , seguro, no está de más tener ambos. Pero si tiene que pagar precios justos, prefiere pagar el precio de una de las opciones y atenerse a eso.

— FooBar
fuente

U_{x y} = U_{y x}

$U_{xy} = U_{yx}$