¿Para qué función de demanda es el monopolio más perjudicial?

Considere una empresa con cero costo marginal. Si entrega el producto de forma gratuita, se satisface toda la demanda y el bienestar social aumenta en la cantidad máxima posible; llamar a este aumento .$W$

Pero debido a que la empresa es un monopolio, reduce la demanda y aumenta el precio para optimizar sus ingresos. Ahora los de bienestar social se incrementa en una cantidad menor, por ejemplo, .$V$

Definir la pérdida relativa de bienestar (pérdida de peso muerto) como: . Esta relación depende de la forma de la función de demanda. Entonces mi pregunta es: ¿esta relación está limitada o puede ser arbitrariamente grande? En particular:$W/V$

• Si está acotado, ¿para qué función de demanda se maximiza?$W/V$
• Si no tiene límites, ¿para qué familia de funciones de demanda puede llegar a ser arbitrariamente grande?$W/V$

Esto es lo que intenté hasta ahora. Sea la función de utilidad marginal de los consumidores (que también es la función de demanda inversa). Suponga que es finito, suave, monotónicamente decreciente y escalado al dominio . Deje que sea ​​su anti-derivada. Entonces:$u(x)$$x\in[0,1]$$U(x)$

• $W = U(1)-U(0)$ , el área total debajo de .$u$
• $V = U(x_m)-U(0)$ , donde es la cantidad producida por el monopolio. Esta es el área debajo de excepto la parte de "pérdida de peso muerto".$x_m$$u$
• $x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$ = la cantidad que maximiza los ingresos del productor (el rectángulo marcado).
• $x_m$ generalmente se puede calcular utilizando la condición de primer orden: .$u(x_m) = -x_m u'(x_m)$

Para tener una idea de cómo se comporta , probé algunas familias de funciones.$W/V$

Sea , donde es un parámetro. Entonces:$u(x)=(1-x)^{t-1}$$t>1$

• $U(x)=-(1-x)^{t}/t$ .
• La condición de primer orden da: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = 1/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$
• $W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$

Cuando , , entonces para esta familia, está acotado.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

¿Pero qué pasa con otras familias? Aquí hay otro ejemplo:

Sea , donde es un parámetro. Entonces:$u(x)=e^{-t x}$$t>0$

• $U(x)=-e^{-t x}/t$ .
• La condición de primer orden da: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$
• $W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$

Cuando , nuevamente , entonces aquí nuevamente está acotado.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

Y un tercer ejemplo, que tuve que resolver numéricamente:

Sea , donde es un parámetro. Entonces:$u(x)=\ln(a-x)$$a>2$

• $U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$ .
• La condición de primer orden da: . Usando este gráfico desmos , descubrí que . Por supuesto, esta solución solo es válida cuando ; de lo contrario, obtenemos y no hay pérdida de peso muerto.$x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$$x_m \approx 0.55(a-1)$$0.55(a-1)\leq 1$$x_m=1$
• Usando el mismo gráfico, descubrí que está disminuyendo con , por lo que su valor supremum es cuando , y es aproximadamente 1.3.$W/V$$a$$a=2$

¿Hay otra familia de funciones finitas para las cuales puede crecer infinitamente?$W/V$

Una proporción arbitrariamente grande debería ocurrir con la curva de demanda

$P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \\ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \\ \end{cases}$ .

Los precios monopólicos en , pero el excedente de los consumidores si es infinito, porque el área bajo la curva de demanda contiene .$P=1$$P=0$$\int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty$