¿La aversión al riesgo causa una utilidad marginal decreciente, o viceversa?

Sea $A$ el conjunto de posibles estados del mundo, o posibles preferencias que una persona podría tener. Deje el conjunto de "apuestas" o "loterías", es decir el conjunto de distribuciones de probabilidad sobre . Entonces cada persona tendría un orden preferido de los estados en , así como un orden preferido de las loterías en . El teorema de von Neumann-Morgenstern establece que, suponiendo que su preferencia ordenando sobre obedezca a ciertos axiomas de racionalidad, sus preferencias pueden representarse mediante una función de utilidad . (Esta función es única hasta la multiplicación de escalares y la adición de constantes). Eso significa que para dos loterías $G(A)$ $A$ $A$ $G(A)$ $G(A)$ $u: A → ℝ$ $L_1$ y $L_2$ en $G(A)$ , se prefieren $L_1$ a $L_2$ si y sólo si el valor esperado de $u$ bajo $L_1$ es mayor que el valor esperado de $u$ bajo $L_2$ . En otras palabras, maximiza el valor esperado de la función de utilidad.

Ahora, el hecho de que maximice el valor esperado de su función de utilidad no significa que maximice el valor esperado de cosas reales como el dinero. Después de todo, las personas a menudo son reacias al riesgo; dicen "un pájaro en la mano vale dos en el monte". La aversión al riesgo significa que valoras una apuesta menos del valor esperado del dinero que ganarás. Si expresamos esta noción en términos de la función de utilidad von Neumann-Morgenstern, obtenemos el siguiente resultado a través de la desigualdad de Jensen: una persona es reacia al riesgo si y solo si su función de utilidad es una función cóncava de su dinero, es decir, hasta qué punto su aversión al riesgo es igual a la medida en que tiene una utilidad marginal decreciente del dinero. (Consulte la página 13 de este PDF ).

Mi pregunta es, ¿en qué dirección corre la causalidad? ¿Los valores de la función de utilidad von Neumann-Morgenstern reflejan la intensidad de sus preferencias y es una aversión al riesgo debido al descuento de las preferencias de los seres futuros que están acomodados en comparación con las preferencias de versiones futuras de usted que son más pobres y, por lo tanto, valoran dinero más (como sugiere Brad Delong aquí )? ¿O la causalidad es inversa: su tolerancia al riesgo determina la forma de su función de utilidad, de modo que la función de utilidad von Neumann-Morgenstern no le dice nada sobre la intensidad relativa de sus preferencias?

— Keshav Srinivasan
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Respuestas:

Creo que he encontrado una respuesta a mi pregunta, en este extracto del documento del Premio Nobel John C. Harsanyi de 1994 "Validez normativa y significado de las utilidades von neumann-morgenstern", presentado en el Noveno Congreso Internacional de Lógica, Metodología y Filosofía de Ciencias. Harsanyi comienza demostrando el mismo lema que Alecos demostró en su respuesta, a saber, que si es una función de utilidad vNM de un individuo, entonces $u$ $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ si y solo si preferirían una garantía de 5 dólares en comparación con un 50% de 10 dólares y una probabilidad del 50% de 0 dólares. En la sección de comentarios, dije que era insuficiente para demostrar que la función de utilidad vNM representaba la intensidad de las preferencias, porque ¿qué pasaría si el placer y el dolor reales del individuo fueran descritos con precisión por alguna otra función de utilidad , que es una transformación monotónica pero no una transformación afina? de ? En ese caso, ¿no podría dejar de satisfacer la propiedad del valor esperado, y no podría ? $v$ $u$ $v$ $v(10) - v(5) = v(5) - v(0)$

Harsanyi tiene un argumento inteligente que trata este tema. Deje que sea la lotería donde obtendrá 5 dólares garantizados, deje que sea la lotería donde tenga una probabilidad del 50% de 10 dólares y una probabilidad del 50% de 0 dólares, y deje que sea la lotería donde tenga una probabilidad del 50% de 10 dólares y una probabilidad del 50% de 5 dólares. Entonces, obviamente, la persona prefiere tanto y . Y Harsanyi sostiene que se prefiere menos fuertemente que se prefiere si y sólo si . Eso es porque en la elección entre, $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_3$ $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_1$ $L_3$ $L_2$ $v(10) - v(5) < v(5) - v(0)$ $L_3$ vs , 50% de las veces se les dará 5 dólares, y el 50% del tiempo que tienen que hacer una elección entre 10 y 5. Del mismo modo, en la elección entre y , el 50% de las veces se reciben 10 dólares, y el 50% del tiempo tienen que elegir entre 5 y 0. $L_1$ $L_3$ $L_2$

Ahora aquí viene el golpe maestro: se prefiere si y sólo si se prefiere menos fuerza que se prefiere . Por lo tanto, se prefiere si y sólo si . Y así llegamos a la gran conclusión de que si y solo si . $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_1$ $L_3$ $L_2$ $L_1$ $L_2$ $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$ $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$

Así, Harasanyi llega a la conclusión de que la función de utilidad vNM representa las intensidades de preferencias. Entonces, la respuesta a mi pregunta parece ser que la utilidad marginal decreciente en la función de utilidad vNM refleja una utilidad marginal decreciente genuina cuando se trata de la intensidad de las preferencias, y por lo tanto (suponiendo que los axiomas de vNM son verdaderos) la utilidad marginal decreciente realmente es la causa del riesgo aversión.

Por cierto, en una nota al margen me pregunto si podríamos identificar el conjunto de todas las funciones que satisfacen la restricción de que si y solo si (y de manera similar para mayor que e igual a). (EDITAR: pregunté acerca de esto en Matemáticas, ver aquí .) $v$ $u(x) - u(y) < u(z) - u(w)$ $v(x)-v(y) < v(z) -v(w)$

— Keshav Srinivasan
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@AlecosPapadopoulos Gracias! Pero esta prueba no es realmente un caso de "trabajar los axiomas"; la función no tiene que satisfacer la propiedad del valor esperado en absoluto.

v

$v$

— Keshav Srinivasan

@AlecosPapadopoulos Por cierto, acabo de publicar otra pregunta relacionada con la teoría de la utilidad esperada que te puede interesar: economics.stackexchange.com/q/5304/4447

— Keshav Srinivasan

La función de utilidad es una representación de preferencias, que tradicionalmente se infieren de las elecciones. Las preferencias vienen antes de la utilidad. No llamaría a la conexión entre utilidad y preferencias causalidad, solo una relación matemática.

La aversión al riesgo (preferencia de riesgo) no está relacionada con el descuento, que mide la preferencia temporal. No tiene sentido decir que la aversión al riesgo se debe a descontar las preferencias de los seres futuros.

— Sander Heinsalu
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"No llamaría a la conexión entre utilidad y preferencias causalidad, solo una relación matemática". Bueno, el núcleo de mi pregunta no es sobre si las preferencias conducen a funciones de utilidad. Esto es lo que pregunto fundamentalmente: ¿los valores de la función de utilidad von Neumann-Morgenstern reflejan la intensidad de las preferencias, o simplemente reflejan actitudes hacia el riesgo que no tienen nada que ver con la intensidad de las preferencias? Y, por cierto, con descuento no me refiero al tiempo de descuento. Me refiero a valorar las versiones de ti mismo en algunos futuros posibles más que las versiones en otros futuros.

— Keshav Srinivasan

La representación de utilidad esperada de las preferencias es única hasta transformaciones afines estrictamente crecientes. Los valores de utilidad no tienen significado, solo su clasificación tiene significado. Puede multiplicar la función de utilidad por 2, por ejemplo, con las preferencias sin cambios.

— Sander Heinsalu

@KeshavSrinivasan Quizás ambos deseen actualizar la pregunta / respuesta con la información adicional que incluyeron en los comentarios aquí. Tal vez la pregunta también se haga de manera demasiado formal (y como tal, demasiado larga). Siento que aprendí algo solo leyendo estos comentarios aquí.

— FooBar

@SanderHeinsalu Distingamos entre dos cosas. Existe la información adicional transmitida por la existencia de una función de utilidad vNM, es decir, la información de que la persona satisface los axiomas de vNM. Pero estoy hablando de la información transmitida por la función vNM en sí. Es decir, si x, y, y z son tres elementos fijos de A, entonces la cantidad (u (x) - u (y)) / (u (y) - u (z)) varía de persona a persona (entre personas que satisfacen los axiomas de vNM), pero no varía entre las diferentes funciones de utilidad de vNM para la misma persona. Entonces esta cantidad transmite algo específico a una persona.

— Keshav Srinivasan

La actitud al riesgo es parte de las preferencias. Por lo tanto, transmite tanto la actitud al riesgo como la intensidad de preferencia en algún sentido. Pero también existe la utilidad independiente del estado en vNM, que se relaja en alguna teoría de decisión posterior. Esto puede interpretarse como la misma intensidad de preferencia por el consumo en diferentes estados, con toda la diferencia en la utilidad del consumo en diferentes estados atribuidos a las probabilidades de los estados.

— Sander Heinsalu

La propiedad Utilidad esperada no es una propiedad que depende de la forma funcional de la función de utilidad. Su existencia depende de satisfacer ciertos "axiomas" (que se describirían con mayor precisión como "condiciones"), que tienen que ver con las preferencias / comportamiento de los seres humanos. Se les puede dar una expresión matemática estricta (que es buena), pero tienen que ver con las preferencias, es decir, antes de que se especifique cualquier forma funcional para la función de utilidad. Veamos qué significa eso. En un comentario, el OP escribió

"... si x, y, y z son tres elementos fijos de A, entonces la cantidad varía de persona a persona ( entre las personas que satisfacen los axiomas de vNM), pero no varía entre las diferentes funciones de utilidad de vNM para la misma persona. Por lo tanto, esta cantidad transmite algo específico para una persona ". $[u(x) - u(y)]/[u(y) - u(z)]$

Lo hace.

Citando de Jehle y Renyi (2011) "Advanced Microeconomic Theory" (3d ed) , cap. 2 p. 108

"Concluimos que la proporción de diferencias de utilidad tiene un significado inherente con respecto a las preferencias del individuo y deben tomar el mismo valor para cada representación de utilidad VNM de (la relación de preferencia débil). Por lo tanto, las representaciones de utilidad VNM proporcionan claramente más información que la ordinal sobre el las preferencias del tomador de decisiones, de lo contrario, a través de transformaciones monótonas adecuadas, tales proporciones podrían asumir muchos valores diferentes ".

En su ejemplo, justo antes de la cita, muestran que

\frac{[u (x) - u (y)]}{[u (y) - u (z)]} = \frac{1 - α}{α}

$\frac {[u(x) - u(y)]}{[u(y) - u(z)]} = \frac {1-\alpha}{\alpha}$

donde es una probabilidad que refleja las preferencias que estamos modelando. Citar de nuevo (p. 107) $\alpha$

"Tenga en cuenta que el número de probabilidad $\alpha$ está determinado y es un reflejo de las preferencias del tomador de decisiones. Es un número significativo. Uno no puede duplicarlo, agregarle una constante o transformarlo de ninguna manera sin cambiarlo también. las preferencias con las que está asociado ".

Y $(1-\alpha)/\alpha$ es una probabilidad (no "odds ratio").

Así que aquí está: una función de utilidad vNM está asociada con las probabilidades que pueden caracterizar las preferencias de una persona.

APÉNDICE
Después de un interesante pero prolongado intercambio de opiniones y pensamientos en los comentarios con el OP, decidí mejorar esta respuesta con un ejemplo, para mostrar que en el contexto de la teoría específica de preferencias que estamos discutiendo, "intensidad de preferencia "(como se discute informalmente aquí) no se puede disociar de la" actitud hacia el riesgo ", están inextricablemente vinculados.

Suponga que un individuo declara (como tiene todo el derecho): "Mis preferencias son monótonas y prefiero más a menos. Además, los próximos cinco euros me darán exactamente la misma utilidad que los cinco siguientes". Tenga en cuenta que esta es la persona que habla: no podemos preguntarle si la utilidad puede ser cardinal o no, etc. Comenzando desde cero por conveniencia, simbolizamos su declaración como

\begin{matrix} (1) & u (10) - u (5) = u (5) - u (0) ⟹ u (5) = \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) \end{matrix}

$u(10) - u(5) = u(5) - u(0) \implies u(5) = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag {1}$

En el contexto de la discusión con el OP, esta es una declaración sobre "intensidad de preferencia".

A continuación, presentamos a este individuo la siguiente opción: puede obtener euros o puede participar en una apuesta donde obtendrá euros con probabilidad o euros con probabilidad . El individuo declara que prefiere estrictamente obtener los euros con certeza. Esta es una declaración que revela "actitud hacia el riesgo". $5$ $G$ $0$ $1/2$ $10$ $1/2$ $5$

Pregunta: ¿Pueden las preferencias de este individuo, como se describe en sus dos declaraciones, ser representada por una función de utilidad que posee la Propiedad de utilidad esperada?

Respuesta: No.

Prueba: en su segunda declaración, el individuo reveló que el Equivalente de certeza de la apuesta es estrictamente inferior a euros: $CE_G$ $5$

Por eso tenemos eso

\begin{matrix} (2) & E [u (G)] = u (C E_{G}) < u (5) \end{matrix}

$E[u(G)] = u(CE_G) < u(5) \tag{2}$

Ahora, para que se mantenga la propiedad Utilidad esperada, debe ser el caso que

\begin{matrix} (3) & u [G; p (G)] = E [u (G)] = \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) \end{matrix}

$u[G;p(G)] = E[u(G)] = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag{3}$

Debido a (que expresa la "actitud hacia el riesgo" del individuo) tenemos que $(2)$

\begin{matrix} (4) & (2), (3) ⟹ \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) < u (5) \end{matrix}

$(2), (3) \implies \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) < u(5) \tag {4}$

Pero esto contradice $(1)$ , que expresa la "intensidad de preferencia" del individuo.

Por lo tanto, concluimos que un individuo cuyas preferencias se describen en las declaraciones anteriores no puede ser representado por una función de utilidad que posea la Propiedad de utilidad esperada.

En otras palabras, para que la propiedad Utilidad esperada se mantenga, la "actitud hacia el riesgo" no puede disociarse de la "intensidad de preferencia". Si el individuo hubiera declarado que era indiferente entre los euros determinados y la apuesta , entonces sus preferencias podrían estar representadas por una función de utilidad que tenía la propiedad de la UE. Pero para lograr eso, tuvimos que "alinear" la "actitud hacia el riesgo" con la "intensidad de preferencia". $5$ $G$

— Alecos Papadopoulos
fuente

Bien, ahora que hemos establecido que la cantidad te dice algo sobre una persona, mi pregunta sigue siendo, ¿te dice algo? algo sobre la intensidad de las preferencias? Por ejemplo, si , ¿eso significa necesariamente que prefieren 10 dólares a 5 dólares? menos fuerte de lo que prefieren 5 dólares a 0 dólares? ¿O simplemente indica algo sobre las actitudes hacia el riesgo (es decir, las preferencias sobre ) que no dice nada sobre la intensidad de las preferencias?

\frac{u (x) - u (y)}{u (y) - u (z)}

$\frac {u(x) - u(y)}{u(y) - u(z)}$

\frac{u (10) - u (5)}{u (5) - u (0)} = \frac{1}{3}

$\frac {u(10) - u(5)}{u(5) - u(0)}= \frac{1}{3}$

G (A)

$G(A)$

— Keshav Srinivasan

@KeshavSrinivasan Se clasifica la intensidad, pero no miden la intensidad.

— Alecos Papadopoulos

Bien, pero ¿por qué incluso clasifica la intensidad? ¿Por qué el hecho de que necesariamente implica que la preferencia de la persona por 10 dólares sobre 5 dólares es menos fuerte que la preferencia de la persona por 5 dólares sobre 0 dólares?

u (10) - u (5) < u (5) - u (10)

$u(10) - u(5) < u(5) - u(10)$

— Keshav Srinivasan

si busca la referencia que proporcioné en mi respuesta, verá que sus ejemplos numéricos dicen: "Esta persona es indiferente entre dólares con certeza y una apuesta donde obtiene dólares con probabilidad y dólares con probabilidad . Ah, pero esa es la "actitud hacia el riesgo" se podría decir, "no las preferencias de intensidad". ¿Y quién dijo que la "actitud hacia el riesgo" es algo disociado de la "intensidad de preferencia"? CONTD

5

$5$

10

$10$

3 / 4

$3/4$

0

$0$

1 / 4

$1/4$

— Alecos Papadopoulos

CONTINUAR Si me gusta "más 5", menos de lo que no me gusta "menos 5", ¿no es lógico pensar que, en lo que respecta a la incertidumbre, erraré un poco más en el lado de no perder 5, en lugar de ganar 5 ¿más? Recuerde, una función de utilidad que exhibe aversión al riesgo, exhibe también una utilidad marginal decreciente de la riqueza. La actitud hacia el riesgo y la "intensidad de preferencia" están muy estrechamente vinculadas.

— Alecos Papadopoulos