Preferencia sobre loterías sin axioma de independencia

Supongamos que un conjunto de los resultados puede ser clasificado en el orden siguiente: 1 \ succ 2 \ succsim \ cdots \ succsim N . Además, suponga que un tomador de decisiones tiene preferencia sobre las loterías sobre estos resultados. Suponga que la preferencia sobre las loterías es racional, continua, pero no necesariamente consistente con el axioma de independencia .$N$$1\succ 2\succsim\cdots\succsim N$

¿Se deduce que la mejor lotería en este caso es la lotería degenerada $(1,0,\dots,0)$ ?

¿Qué pasa si se viola el axioma de la independencia ?

No, no necesariamente Sin el axioma de independencia (o algo más que lo reemplace) no hay mucho que se pueda inferir sobre las preferencias sobre las loterías (no degeneradas) al conocer las preferencias sobre los resultados solamente.

Por ejemplo, dejemos que sea ​​la probabilidad de resultados . Luego, preferencias sobre loterías representadas por la función de utilidad$p^L_n$$n \in \{1, 2, 3\}$$\succeq^*$

$$U(L) = p^L_1 + \beta [p^L_2p^L_3],$$

son continuos y racionales, pero no satisfacen el axioma de la independencia. Para suficientemente grande, ni siquiera es el caso de que sea ​​la mejor lotería, aunque y .$\beta$$(1,0,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,1,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,0,1)$

Para ver por qué, observe que

$$U(1,0,0) = 1,$$ $$U(0,1,0) = 0,$$ $$U(0,0,1) = 0,$$

Sin embargo, para ,$\beta > 4$

$$U\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) > 1 .$$

La violación del axioma de la independencia puede verse en el hecho de que, cuando ,$\beta > 4$

$$[1,0,0] \succ [0,1,0] ,$$

a pesar de que

$$\left[0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \succ \left[ \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right].$$