Matriz de transición: discreta -> tiempo continuo

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Tengo el código correspondiente a Tauchen (1986) (equivalente a Python de esto ), que genera una aproximación discreta de un proceso de tiempo discreto AR (1).

Por ejemplo, si configura el tamaño de la cuadrícula como 3, le dará un vector de productividades

[A_1, A_2, A_3,]

y una matriz de probabilidades de transición

A_11, A_12, A_13
A_21, A_22, A_23
A_31, A_32, A_33

Donde fila i, columna jle da la probabilidad de pasar de ia j, y satisface que la suma de cada fila sea aproximadamente una.

Me pregunto cómo puedo transformar esto en un tiempo continuo equivalente de la matriz de transición; Un conjunto de probabilidades de Poisson que controlan las tasas de flujo entre los estados.

Todo lo que recuerdo a este respecto es que podemos obtener la aproximación lineal a las probabilidades de Poisson usando

P r o b (i \to j) = lim_{Δ \to 0} \exp (- λ_{i j} Δ) \approx 1 - λ_{i j} Δ

$Prob(i \to j) = \lim_{\Delta\to0} \exp(-\lambda_{ij}\Delta) \approx 1-\lambda_{ij}\Delta$

Pero no puedo ver cómo eso me ayuda a transformar esa matriz anterior en s ... Espero cualquier sugerencia. $\lambda$

computation stochastic-processes

— FooBar
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$B$ $n\times n$ $B_{ij}\geq 0$ $i\neq j$ $i$ $j$ $B_{ii}\leq 0$ $i$ $B$

$p(t)$ $t$ $B$

\dot{p} (t) = B p (t)

$\dot{p}(t) = Bp(t)$

p (t) = e^{B t} p (0)

$p(t)=e^{Bt}p(0)$

e^{B t}

$e^{Bt}$

B t

$Bt$

B

$B$

A

$A$

t = 1

$t=1$

e^{B} = A

$e^B=A$

$B$ $A$ $n$ $B$ $A$ $B$ $A$

$A$ $A$ $A=V\Sigma V^{-1}$ $B=V\Omega V^{-1}$ $\omega_{ii} = \log(\sigma_{ii})$ $\text{logm}(A)$ $B$

$B$ $B$

$A$

A = (\begin{matrix} 0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5 \end{matrix})

$A = \begin{pmatrix}0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5\end{pmatrix}$

B = logm (A)

$B=\text{logm}(A)$

B = (\begin{matrix} - 0.86 & 0.80 & 0.06 \\ 0.40 & - 0.80 & 0.40 \\ 0.06 & 0.80 & - 0.86 \end{matrix})

$B = \begin{pmatrix}-0.86 & 0.80 & 0.06 \\ 0.40 & -0.80 & 0.40 \\ 0.06 & 0.80 & -0.86\end{pmatrix}$ De hecho, esta es una matriz de transición de Poisson válida, ya que podemos comprobar fácilmente que las filas suman cero y tienen los signos correctos, por lo que esta es nuestra respuesta.

El caso con valores propios positivos es bastante importante, ya que abarca todos los casos en los que no hay algún tipo de comportamiento oscilatorio en la cadena de Markov (que requeriría valores propios negativos o complejos), presumiblemente incluyendo su AR discretizado (1).

$\text{logm}$ $-\pi$ $\pi$ $B$ $A$

$B$ $A$

Me siento obligado a cerrar secundando el comentario de ecksc y diciendo que podría haber formas mejores y más directas de convertir un AR (1) ajustado discretamente en un proceso de tiempo continuo de estado finito, en lugar de simplemente tomar la matriz obtenida a través del método Tauchen y haciéndolo continuo. ¡Pero personalmente no sé cuál es esa mejor manera!

$A$ $A$ $e$

— nominalmente rígido
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No puedo comentar, o pediría más detalles primero. Si está intentando convertir un proceso AR (1) ajustado contra una serie temporal discreta en un proceso de tiempo continuo, encontré un recurso relevante aquí en la página 4.

Los cálculos se proporcionan para estimar los coeficientes de un proceso CAR (2) a partir de un proceso AR (2), pero, por supuesto, puede sustituir un 0 por el segundo coeficiente para obtener su conversión.

Si está tratando de convertir una cadena de Markov de tiempo discreto a tiempo continuo, será más complicado y tendré que leer un poco más antes de poder dar más ayuda. :) Mientras tanto, he aquí un buen material de lectura que encontré sobre las cadenas de Markov de tiempo continuo.

— ecksc
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