¿Cuándo se puede hablar con seguridad sobre la disminución de la utilidad marginal?

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Una cosa que escucho mucho es hablar de la disminución de la utilidad marginal: la idea es que las unidades adicionales de un bien se vuelven progresivamente menos atractivas a medida que más unidades de ese bien ya tienen.

$u(x)$ $u'(x),\ u''(x)<0$ $f$ $(f\circ u)$ $x$ $(f\circ u)$ $u$ (pero ahora tiene una utilidad marginal constante). Por lo tanto, en un mundo con un solo bien, parece que nunca tiene sentido hablar sobre la disminución de la utilidad marginal.

Mi pregunta es esta: considere un mercado con bienes $L>1$ . ¿Existe una condición formal bajo la cual podamos hablar con seguridad sobre la disminución de la utilidad marginal? Es decir, ¿hay una clase de preferencias tal que cada representación de utilidad válida, $u(\mathbf{x})$ , tenga $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ para alguna $i$ ?

Alternativamente, ¿hay alguna prueba simple que, para $L>1$ , la existencia de una representación de utilidad con $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ para algunos $i$ necesariamente implica que todas las representaciones de servicios públicos tienen $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ ?

— Ubicuo
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Dittmer (2005) analiza esto con cierto detalle. En el nivel introductorio, les enseñamos a los estudiantes que hay algo llamado "utilidad marginal decreciente" (DMU), que implica que la utilidad es un concepto cardinal. Luego, en los niveles intermedio y de posgrado, la utilidad de repente se convierte en un concepto ordinal donde no puede haber tal cosa como DMU. Y así, al pasar de la introducción a los niveles intermedios, hay una gran inconsistencia. Esta inconsistencia generalmente pasa desapercibida para la mayoría de los estudiantes y, por lo tanto, el profesor no la explica.

— Kenny LJ

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El concepto de "utilidad marginal" (y, por lo tanto, de disminuirla) solo tiene sentido en el contexto de la utilidad cardinal .

Supongamos que tenemos un índice de utilidad ordinal , en un solo bien, y tres cantidades de este bien, , con . Las preferencias se comportan bien y satisfacen las condiciones de regularidad de referencia, por lo que $u()$ $q_1<q_2<q_3$ $q_2-q_1 = q_3-q_2$

u (q_{1}) < u (q_{2}) < u (q_{3})

$u(q_1)< u(q_2) < u(q_3)$

Esta es la utilidad ordinal . Solo el ranking es significativo, no las distancias. Por lo que las distancias y no tienen interpretación del comportamiento / económica . Si no lo hacen, tampoco lo hacen las proporciones $u(q_2) - u(q_1)$ $u(q_3) - u(q_2)$

\frac{u (q_{2}) - u (q_{1})}{q_{2} - q_{1}}, \frac{u (q_{3}) - u (q_{2})}{q_{3} - q_{2}}

$\frac {u(q_2) - u(q_1)}{q_2-q_1},\;\; \frac {u(q_3) - u(q_2)}{q_3-q_2}$

Pero los límites de estas razones cuando el denominador va a cero sería la definición de la derivada de la función . Por lo tanto, la derivada carece de interpretación económica / conductual, por lo que comparar dos instancias de la función derivada no produciría ningún contenido significativo. $u()$

Por supuesto, esto no significa que las derivadas de no existan como conceptos matemáticos. Pueden existir si satisface las condiciones necesarias para la diferenciabilidad. Entonces uno puede hacer la pregunta puramente matemática "bajo qué condición la función que representa la utilidad ordinal tiene una segunda derivada estrictamente negativa " (o una arpillera definida negativa para el caso multivariante), tratando de no interpretarla como "utilidad marginal decreciente" con contenido económico / conductual , pero como solo una propiedad matemática que puede desempeñar algún papel en el modelo que examina. $u()$ $u()$

En tal caso, sabemos que:
1) Si las preferencias son convexas, el índice de utilidad es una función cuasicóncava
2) Si las preferencias son estrictamente convexas, el índice de utilidad es estrictamente cuasicóncavo

Pero la cuasi-concavidad es un tipo diferente de propiedad que la concavidad: la cuasi-concavidad es una propiedad "ordinal" en el sentido de que se preserva bajo una transformación creciente de la función.

Por otro lado, la concavidad es una propiedad "cardinal", en el sentido de que no necesariamente se preservará bajo una transformación creciente.
Considere lo que esto implica: suponga que encontramos una caracterización de las preferencias de modo que puedan ser representadas por un índice de utilidad que es cóncavo como una función. Entonces podemos encontrar e implementar una transformación creciente de este índice de utilidad, que eliminará la propiedad de concavidad.

— Alecos Papadopoulos
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El hecho de que pregunte sobre "seguridad" implica que cree que algún resultado está en peligro. Esta respuesta puede mejorarse si puede especificar un resultado que tenga en mente. De lo contrario, tome como ejemplo los teoremas de bienestar primero y segundo. No dependen de la disminución de la utilidad marginal.

Si le preocupan los resultados sobre las preferencias sobre la incertidumbre (ideas sobre la aversión al riesgo, etc.), recuerde que aunque una representación de función de utilidad estándar de preferencias sin incertidumbre es única hasta una transformación monotónica positiva, una representación de función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern de preferencias sobre la incertidumbre es única solo hasta transformaciones afines positivas .

EDITAR: Notas extra.

La definición de una función de utilidad se da de la siguiente manera (de Advanced Microeconomic Theory por Jehle y Reny, 2011): ingrese la descripción de la imagen aquí

— jmbejara
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