Extensiones de equilibrios de Nash a juegos con estrategias infinitas.

En el libro de texto de Jehle y Reny (que debo agregar, no he leído mucho más allá de algunas secciones de interés), se demuestra un teorema que establece que siempre hay un equilibrio de Nash (mixto) en juegos de forma estratégica finita. El libro asume que todos los jugadores tienen el mismo número de acciones disponibles, pero no es difícil imaginar cómo esto podría extenderse al caso donde esto no es cierto.

Sin embargo, lo que me interesa es si existe alguna extensión de esto a los juegos, particularmente aquellos en los que puede haber infinitas opciones. Por ejemplo, claramente no hay equilibrio en un juego donde un jugador gana al elegir el número más alto, pero si tenemos, por ejemplo, el mismo juego, pero donde el número debe estar dentro del intervalo (o cualquier intervalo que contiene su límite superior), las mejores funciones de respuesta "convergen". Del mismo modo, también sospecharía que es necesario que haya funciones de costo y demanda de "buen comportamiento" en los modelos de competencia para obtener resultados "buenos". $[0, 100]$

Como tal, tengo dos preguntas:

¿Hay algún tipo de escenario bien definido en el que un juego con infinitas opciones de estrategia tendrá un equilibrio de Nash?
¿Cuál sería la lectura relevante para esto?

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Respuestas:

Sí, existe tal entorno. El resultado es que

Si el espacio de estrategia de cada jugador es

convexo

compacto

y si los pagos son continuos, existe al menos un equilibrio de Nash (posiblemente en estrategias mixtas).

Esto es válido incluso cuando el conjunto de posibles acciones es infinitamente infinito. Si, además, se supone que las recompensas son casi cóncavas, entonces la correspondencia de mejor respuesta será convexa, incluso si restringimos la atención a estrategias puras, de modo que se garantice al menos un equilibrio en estrategias puras en un juego de este tipo.

Creo que la referencia original aquí es

IL Glicksberg. " Una generalización adicional del teorema del punto fijo de Kakutani, con aplicación a los puntos de equilibrio de Nash ". Actas de la American Mathematical Society , 3 (1): 170-174, 1952.

Sin embargo, el tratamiento en el artículo de Glicksberg no parece muy accesible. Una buena referencia inicial es más probable que sea la sección 1.3 del libro "Game Theory" de Fudenberg & Tirole .

— Ubicuo
fuente

Sin embargo, ¿"cerrado y acotado" implica necesariamente "convexo y compacto"? Puedo imaginar regiones cerradas y delimitadas en, digamos, que no serían convexas.

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

No, la observación cerrada y acotada se refiere a la compacidad: la definición de un conjunto compacto es cerrada y acotada.

— Ubicuo

Bien, lo siento, leí mal la ubicación de "y".

De hecho, el artículo citado Glicksberg opera explícitamente en un contexto donde esa caracterización de la compacidad no es cierta --- en un espacio vectorial normado, cerrado y acotado en la norma solo implica una compacidad débil *.

— Michael

@densep En el juego de peniques coincidentes, las acciones disponibles son discretas y, por lo tanto, el juego tiene un espacio de estrategia no convexo, por lo que la primera condición en la declaración anterior falla.

— Ubicuo

Si bien aún se necesita compacidad y convexidad, la siguiente referencia trata sobre la existencia en juegos de espacio vectorial con ciertos tipos de discontinuidades.

Reny, P. (1999) "Sobre la existencia de equilibrios de Nash de estrategia pura y mixta en juegos discontinuos", Econometrica 67, 1029-1056

— adamski
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