¿Cómo puedo obtener la función de producción de Leontief y Cobb-Douglas de la función CES?

En la mayoría de los libros de texto de Microeconomía se menciona que la función de producción de Elasticidad de sustitución constante (CES),

$$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$$

(donde la elasticidad de sustitución es ), tiene como límites tanto la función de producción de Leontief como la de Cobb-Douglas. Específicamente,$\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$

$$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$$

y

$$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$$

Pero nunca proporcionan la prueba matemática de estos resultados.

¿Alguien puede proporcionar estas pruebas?

Además, la función CES anterior incorpora retornos constantes a escala (homogeneidad de grado uno), debido a que el exponente externo es $-1/\rho$ . Si fuera, digamos $-k/\rho$ , entonces el grado de homogeneidad sería $k$ .

¿Cómo se ven afectados los resultados limitantes si $k\neq 1$ ?

Las pruebas que presentaré se basan en técnicas relevantes para el hecho de que la función de producción de CES tiene la forma de una media ponderada generalizada .
Esto se usó en el documento original donde se introdujo la función CES, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS y Solow, RM (1961). Sustitución de capital-trabajo y eficiencia económica. The Review of Economics and Statistics, 225-250.
Los autores remitieron a sus lectores al libro Hardy, GH, Littlewood, JE y Pólya, G. (1952). Desigualdades , capítulo .$2$

Consideramos el caso general

$$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$$

$$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$$

1) Límite cuando$\rho \rightarrow \infty$ Dado que estamos interesados ​​en el límite cuando podemos ignorar el intervalo para el cual y tratar a como estrictamente positivo. ρ → ∞ ρ ≤ 0 ρ
$\rho\rightarrow \infty$$\rho \leq0$$\rho$

Sin pérdida de generalidad, suponga . También tenemos . Luego verificamos que se cumple la siguiente desigualdad:K , L > $K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$$K, L >0$

$$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$$

$$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$$

elevando todo el poder para obtener$\rho/k$

(1

$$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$$ que de hecho se cumple, obviamente, dados los supuestos. Luego regrese al primer elemento de y$(1)$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$$

que intercala el término medio en a , entonces( 1 / L k$(1)$$(1/L^{k})$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$$

Entonces para obtenemos la función básica de producción de Leontief.$k=1$

2) Límite cuando$\rho \rightarrow 0$
Escriba la función usando exponencial como

$$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$$

Considere la expansión de Maclaurin de primer orden (expansión de Taylor centrada en cero) del término dentro del logaritmo, con respecto a :$\rho$

$$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$$

$$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$$

Inserte esto de nuevo en y elimine el exponencial externo,$(4)$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$$

En caso de que sea opaco, defina y vuelva a escribir$r\equiv 1/\rho$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$$

Ahora parece una expresión cuyo límite en el infinito nos dará algo exponencial:

$$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$$

$$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$$

Se conserva el grado de homogeneidad de la función, y si obtenemos la función Cobb-Douglas.k = $k$$k=1$

Fue este último resultado que hizo Flecha y Co llamar a parámetro de "distribución" de la función CES.$a$

El método habitual para obtener Cobb-Douglas y Leotief es la regla de L'Hôpital .

También se deben usar otros métodos. El ajuste devolverá y Por la derivada total a través de diferenciales tendremos Con algunas manipulaciones se obtendrá nuestra ecuación principal.Q = [ a K - ρ + ( 1 - a ) L - ρ ] - $\gamma=1$ Q-ρ=[aK-ρ+(1-a)L-ρ$Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

$$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$$ $$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$$

$$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$$

Función lineal :$\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

Función Cobb-Douglas : Tomar la Integral de ambos lados produciría

$$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$$

$$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$$

$$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$$

Función Leontief :$\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$