El conocimiento común y el rompecabezas de los sombreros rojos

Aquí hay un rompecabezas que se supone que ayuda a iluminar el conocimiento común en la teoría de juegos. Tres niñas están sentadas en círculo, cada una con un sombrero rojo o blanco. Cada uno puede ver el color de todos los sombreros, excepto el suyo. Ahora supongamos que todos llevan sombreros rojos.

Se dice que si la maestra anuncia que al menos uno de los sombreros es rojo, y luego pregunta secuencialmente a cada niña si sabe el color de su sombrero, la tercera niña interrogada sabrá que su sombrero es rojo. Entiendo el razonamiento allí. El primero debe haber visto al menos un sombrero rojo en los otros dos para decir que no lo sé. Y la segunda niña debe haber visto un sombrero rojo en la tercera, o de lo contrario deduciría que la primera niña vio un sombrero rojo en ella.

Lo que no entiendo es la necesidad del maestro. Todos saben que hay al menos un sombrero rojo. Y, si comenzamos con conocimientos comunes, deberían descubrir que todos los demás lo saben. Entonces, ¿se presenta al maestro solo si el conocimiento común no es una suposición?

Fuente: http://cowles.econ.yale.edu/~gean/art/p0882.pdf

Sin el maestro, todos saben que hay al menos un sombrero rojo, pero nadie sabe que todos lo saben , el hecho no es de conocimiento común.

Con la presentación del profesor,

• La chica 1 no responde. Debido al conocimiento común , 2 y 3 pueden razonar: "1 sabe que hay al menos un sombrero rojo, y dado que ella no sabe el color de su sombrero, 2 y / o 3 deben tener un sombrero rojo.

Sin la presentación del profesor,

• La chica 1 no responde. Sin conocimiento común, no hay nada que 2 y 3 puedan razonar además de su conocimiento previo: 2 seguirá sabiendo que 3 tiene un sombrero rojo y 3 seguirá sabiendo que 2 tiene un sombrero rojo. Nada mas.

En otras palabras: sin el maestro, el conjunto de conocimientos es:

• 1: 2 + 3 tienen sombreros rojos
• 2: 1 + 3 tienen sombreros rojos
• 3: 1 + 2 tienen sombreros rojos

El profesor trabaja como un inyector de conocimiento adicional:

• 1: 2 + 3 ambos saben que hay al menos un sombrero rojo
• 2: 1 + 3 ambos saben que hay al menos un sombrero rojo
• 3: 1 + 2 ambos saben que hay al menos un sombrero rojo

Y, el conocimiento común significa que en el siguiente nivel, todos saben que todos saben

• 1: 2 + 3 ambos saben que sé que hay al menos un sombrero rojo

etc, ad infinitum . Esta información adicional es necesaria para resolver el rompecabezas.

Creo que esencialmente dice: sin el anuncio del maestro, ¿no es todavía de conocimiento común que todos ven al menos 1 sombrero rojo? (Usted dijo: "Todo el mundo sabe que hay al menos un sombrero rojo. Y, si comenzamos con el conocimiento común, deberían darse cuenta de que todos los demás lo saben").

No lo creo. La persona 1 ve que las personas 2 y 3 tienen sombreros rojos. Sí, 1 piensa: "2 ve un sombrero rojo en 3."

Sin embargo, 1 piensa además: "Si 2 ve que mi sombrero es blanco, entonces 2 piensa que 3 podrían ver ambos sombreros blancos: el mío y los 2, que también podrían ser blancos. Así que creo que 2 podrían pensar que 3 podrían no ver un rojo En otras palabras, no sé que 2 sabe que 3 sabe que hay al menos 1 sombrero rojo. No es de conocimiento común que hay al menos 1 sombrero rojo, porque creo que es posible que 2 piense que 3 no ve un sombrero rojo ".

Esto rompe la vieja solución de esta manera. Supongamos que 3 y 2 dicen secuencialmente que no saben de qué color se visten. Entonces es el turno de 1. 1 piensa: "Si 2 sabe que 3 ve un sombrero rojo, entonces mi sombrero es rojo. De lo contrario, mi sombrero es blanco, entonces 2 concluye que su sombrero es el sombrero rojo que ve 3. Está bien, pero sé que 2 sabe que 3 ve un sombrero rojo? Por lo anterior, no, no lo sé. No sé que 2 sabe que 3 sabe que hay un sombrero rojo. ¡Y en particular, no es de conocimiento común! "

Conclusión: sin el anuncio del maestro, perdemos (1) conocimiento común y (2) la solución anterior en la que la última persona en adivinar puede adivinar el color de su sombrero.