Propiedad de submodularidad en juegos de congestión?

Let ser un -Los jugadores y -elementos juego de la congestión . $G$ $n$ $m$

Para un equilibrio , denote por $e$

S U P (e) ≜< s u p_{1} (e), s u p_{2} (e), \dots, s u p_{n} (e) >

$SUP(e)\triangleq<sup_1(e),sup_2(e),\ldots, sup_n(e)>$

Donde $sup_i(e)$ contiene el apoyo de la $i$ -ésima reproductor de juego $e$ (el conjunto de estrategias $i$ juego con probabilidad positiva).

Además, decimos que $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ iff $\forall i\in[n]: sup_i(e)\subseteq sup_i(e')$ , es decir, cada jugador en $e$ aleatoriza su acción en un subconjunto de las acciones que podría haber elegido jugar $e'$ .

Una última definición es el costo social, $SC(e)$ que se define como la suma de los costos para los jugadores.

Deje $e,e'$ sea dos equilibrios (posiblemente mezclados) para $G$ .

¿
$S U P (e) \subseteq S U P (e^{'})$ $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ implica $S C (e) \leq S C (e^{'})$ $SC(e) \leq SC(e')$ ?

game-theory nash-equilibrium congestion-games

— RB
fuente

¿Querías decir

S C (e) \geq S C (e^{'})

$SC(e)\geq SC(e')$ ? Intuitivamente, uno pensaría que concentrar el juego de equilibrio alrededor de menos elementos conduciría a que cada elemento esté más congestionado.

— Ubicuo

@Ubiquitous: creo que es todo lo contrario. Cada jugador se concentra en menos elementos, lo que significa que menos jugadores están utilizando cada elemento. El hecho de que cada jugador ahora elija un subconjunto de elementos, y esto sigue siendo un equilibrio , podría significar que la sociedad se está beneficiando (de lo contrario, parece que es probable que el jugador se desvíe para usar más elementos).

— RB

Depende de la función de costo (retraso). El juego en la pregunta se especifica de manera incompleta, porque los pagos (costos) están ausentes.

— Sander Heinsalu

Esta proposición en general no es cierta . Uno puede mostrar que es cierto en el caso $n=2$ y $m=2$ . Aquí, I exhiben un ejemplo de contador cuando $n=3$ y $m=2$ .

Un breve comentario Podemos reformular la pregunta en palabras: ¿un equilibrio de Nash que es "más aleatorio" ( versus ) es menos eficiente? Intuitivamente, a medida que se juegan estrategias más mixtas, el resultado realizado es más aleatorio y puede ser muy ineficiente debido a la falta de coordinación entre los agentes. Cuando los agentes juegan estrategias puras, podemos pensar que reducimos el problema de coordinación dado que consideramos los equilibrios de Nash. Esta intuición no se mantiene si la proposición es falsa, como mostraré cuando y . $e'$ $e$ $n=3$ $m=2$

Denote y las dos acciones posibles. Las funciones de retraso se definen de la siguiente manera: , , y , , . Significa que cuando los agentes juegan (resp. ), reciben la recompensa (resp. ). Este es un juego de congestión (simétrica) siempre que las funciones de retraso estén aumentando. $A$ $B$ $d_A(1)=5$ $d_A(2)=7$ $d_A(3)=10$ $d_B(1)=1$ $d_B(2)=6$ $d_B(3)=7$ $x$ $A$ $B$ $-d_A(x)$ $-d_B(x)$

Definir como el equilibrio cuando 1 agente juega y 2 agentes jugar . Defina como el equilibrio cuando 1 agente siempre juega , y los otros 2 juegan con probabilidad y con probabilidad . Satisface la propiedad . $e$ $A$ $B$ $e'$ $B$ $A$ $\mu=2/3$ $B$ $1-\mu=1/3$ $sup(e) \subseteq sup(e')$

Primero, mostramos que es un equilibrio de Nash. El agente que juega está maximizando su recompensa dada la estrategia de los otros dos jugadores cuando elegir es mejor que elegir , (es decir, ). Ambos agentes que juegan están jugando de manera óptima si (es decir, ). es, por lo tanto, un equilibrio de Nash y su costo social es . $e$ $A$ $A$ $B$ $d_A(1)<d_B(3)$ $5<7$ $B$ $d_B(2)<d_A(2)$ $6<7$ $e$ $d_A(1)+2d_B(2)=17=\frac{153}{9}$

En segundo lugar, mostramos que es un equilibrio de Nash. Por un lado, el agente que juega está maximizando su recompensa cuando los otros dos juegan una estrategia mixta si está mejor jugando que , es decir, , lo cual es cierto. Por otro lado, cada uno de los agentes que juegan la estrategia mixta es indiferente entre elegir o si es decir . $e'$ $B$ $B$ $A$

(1 - μ)^{2} {re}_{si} (3) + 2 μ (1 - μ) {re}_{si} (2) + μ^{2} {re}_{si} (1) < (1 - μ)^{2} {re}_{UN} (1) + 2 μ (1 - μ) {re}_{UN} (2) + μ^{2} {re}_{UN} (3)

$(1-\mu)^2d_B(3)+2\mu(1-\mu)d_B(2)+\mu^2d_B(1)<(1-\mu)^2d_A(1)+2\mu(1-\mu)d_A(2)+\mu^2d_A(3)$

\frac{1}{9} 5 + \frac{4}{9} 7 + \frac{4}{9} 10 < \frac{1}{9} 7 + \frac{4}{9} 6 + \frac{4}{9} 1

$\frac{1}{9}5+\frac{4}{9}7+\frac{4}{9}10<\frac{1}{9}7+\frac{4}{9}6+\frac{4}{9}1$

A

$A$

B

$B$

μ {re}_{UN} (2) + (1 - μ) {re}_{UN} (1) = μ {re}_{si} (2) + (1 - μ) {re}_{si} (3)

$\mu d_A(2)+(1-\mu)d_A(1)=\mu d_B(2)+(1-\mu)d_B(3)$

\frac{19}{3} = \frac{19}{3}

$\frac{19}{3}=\frac{19}{3}$

e^{'}

$e'$ es entonces un equilibrio de Nash y su costo social es que es igual a .

(1 - μ)^{2} [3 {re}_{si} (3)] + 2 μ (1 - μ) [{re}_{UN} (1) + 2 {re}_{si} (2)] + μ^{2} [2 {re}_{UN} (2) + {re}_{si} (1)]

$(1-\mu)^2 [3d_B(3)]+2\mu(1-\mu)[d_A(1)+2d_B(2)]+\mu^2[2d_A(2)+d_B(1)]$

\frac{1}{9} 21 + \frac{4}{9} 17 + \frac{4}{9} 15 = \frac{149}{9}

$\frac{1}{9}21+\frac{4}{9}17+\frac{4}{9}15=\frac{149}{9}$

Finalmente, hemos demostrado que pero . El equilibrio de Nash de estrategia mixta resulta en un costo social más bajo que el de estrategia pura. $sup(e) \subseteq sup(e')$ $SC(e) > SC(e')$

— GuiWil
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