¿Es el CES un caso especial de la función de producción de translog?

Estaba discutiendo hoy con un compañero de clase sobre la relación entre las funciones de producción, e intentamos demostrar que el CES es un caso especial de la función de producción de translog, pero fallamos. Ya hemos relacionado el CES, el cobb-douglas y el leontief, pero nos falta el enlace con el translog. ¿Es posible mostrar el supuesto en términos de parámetros CES que producen un CES? Cualquier ayuda es más que bienvenida.

¡Gracias! Jonas

El translog es una aproximación de la función CES. Consideremos una función de producción de 2 factores $A(\alpha K^\gamma+(1-\alpha)L^\gamma)^{1/\gamma}$ . Primero, tome el registro de esta función de producción, y luego aproxímelo al primer orden usando la serie McLaurin para $\gamma$ .

Usando Mathematica (pereza, perdón):

Series[Log[A(\[Alpha] K^\[Gamma]+(1-\[Alpha])L^\[Gamma])^(1/\[Gamma])], {\[Gamma], 0, 1}] // FullSimplify

Tú alcanzas $%\log \left(A K^{\alpha } L^{1-\alpha }\right)+\frac{1}{2} \gamma(1-\alpha) \alpha \left((\log (K)-\log (L))^2\right)+O\left(\gamma ^2\right)$

$\ln Y=\ln(A)+\alpha\ln K+(1-\alpha)\ln L+\gamma \alpha(1-\alpha)\left(\ln K+\ln L -\ln K\ln L \right)+O\left(\gamma ^2\right)$

Esto corresponde a la forma funcional translog usual utilizada en la estimación econométrica.