Mostrar que un modelo de mercado tiene arbitraje y describir martingales

Este es un ejercicio que encontré mientras estudiaba una introducción a las matemáticas financieras.

Ejercicio:

Considere el espacio de muestra finito y deje que sea una medida de probabilidad tal que para todo . Definimos un mercado financiero de un período que consiste en el espacio de probabilidad con y los valores $\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}$ $\mathbb P$ $\mathbb P[\{\omega_1\}] > 0$ $i=1,2,3$ $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb P)$ $\mathcal{F} := 2^\Omega$ $\bar{S} = (S^0,S^1,S^2)$ que consisten en la seguridad de riesgo cero $S^0$ y dos valores $S^1,S^2$ que tienen riesgo. Sus valores en el tiempo $t=0$ están dados por el vector
${\bar{S}}_{0} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 7 \end{matrix})$ $\bar{S}_0 = \begin{pmatrix} 1\\2\\7 \end{pmatrix}$ mientras que sus valores en el tiempo $t=1$ , dependiendo de si el escenario $\omega_1,\omega_2$ o $\omega_3$ están dados, están dados por los vectores ${\bar{S}}_{1} (ω_{1}) = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 9 \end{matrix}), {\bar{S}}_{1} (ω_{2}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}), {\bar{S}}_{1} (ω_{3}) = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 10 \end{matrix})$ $\bar{S}_1(\omega_1) = \begin{pmatrix} 1\\3\\9\end{pmatrix}, \quad \bar{S}_1(\omega_2) = \begin{pmatrix} 1\\1\\5\end{pmatrix}, \quad \bar{S}_1(\omega_3) = \begin{pmatrix} 1\\5\\10 \end{pmatrix}$ (a) Demuestre que este mercado financiero tiene arbitraje.

(b) Sea $S_1^2(\omega_3) = 13$ mientras que los otros valores permanecen igual que antes. Muestre que este mercado financiero no tiene arbitraje y describa todas las medidas de martingala equivalentes.

Intento:

(a) Tenemos que un proceso de valor se define como:

V_{t} = V_{t}^{\bar{ξ}} = \bar{ξ} \cdot {\bar{S}}_{t} = \sum_{i = 0}^{d} ξ_{t}^{i} \cdot {\bar{S}}_{t}^{i}, t \in {0, 1}

$V_t = V_t^\bar{\xi} = \bar{\xi}\cdot \bar{S}_t = \sum_{i=0}^d \xi_t^i\cdot \bar{S}_t^i, \quad t \in \{0,1\}$

donde $\xi = (\xi^0, \xi) \in \mathbb R^{d+1}$ es una estrategia de inversión donde el número $\xi^i$ es igual al número de piezas del valor $S^i$ que están contenidas en la cartera en el período de tiempo $[0,1], i \in \{0,1,\dots,d\}$ .

Ahora, también sé que para mostrar que un mercado tiene arbitraje, necesito mostrar lo siguiente:

V_{0} \leq 0, P (V 1 \geq 0) = 1, P (V_{1} > 0) > 0

$V_0 \leq 0, \quad \mathbb P(V1 \geq 0) = 1, \quad \mathbb P(V_1 > 0) > 0$

Entiendo que los diferentes vectores $S$ se conectarán para calcular $V_t$ pero realmente no puedo comprender $\xi$ . ¿Cuál sería el vector $\xi$ ?

Cualquier ayuda para mí para entender lo que $\xi$ realmente se basa en el problema y cómo llevar a cabo mi intento será muy apreciada.

Para (b) , mostrar que no tiene arbitraje es similar a (a) ya que solo mostraré que una de estas condiciones no se cumplirá. ¿Pero qué hay de las cosas de martingala? Es una sustancia matemática en la que realmente no nos hemos metido, así que, si es posible, agradecería mucho una elaboración.

— Rebellos
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