Modelo de crecimiento de Ramsey: variables per cápita vs agregado

Estoy leyendo un artículo Okuguchi, 1981 con un modelo de crecimiento Ramsey. Hay un crecimiento constante de la población tal como . La forma en que escribe el hamiltoniano es bastante interesante (ecuación 5 en la página 658).L ( t ) = e n $n$$L(t)=e^{nt}$

$$H=e^{-(\rho+n\left(1-\sigma\right))t}\left[\frac{C^{1-\sigma}}{1-\sigma}+\psi AG+\phi\left(Q-C\right)\right]+\lambda R$$

donde las letras mayúsculas representan las variables agregadas y no las variables per cápita. es constante en el modelo.$\lambda$

De hecho, el autor no se ocupa de las variables per cápita sino de las variables agregadas. Por supuesto, tiene en cuenta el crecimiento de la población, ya que aparece en la dinámica de co-estado. Sin embargo, no puedo entender cómo pone el término exponencial en el hamiltoniano de esta manera. Realmente agradecería si me das algunas pistas o sugerencias.e - ( ρ + n ( 1 - σ ) ) $n$$e^{-(\rho+n\left(1-\sigma\right))t}$

De la misma manera, ¿es correcto escribir algo como

$$H=e^{-(\rho-n)t}\left[U\left(C\right)+\lambda\left(AK-C\right)+\mu\left(\left(1-S\right)S-\gamma AK\right)\right]$$

Para per cápita , supongo que proviene de$c=C/L$

$$\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\frac{c(t)^{1-\sigma}}{1-\sigma} dt = \int_0^{\infty}e^{-\rho t}\frac{(C(t)/L(t))^{1-\sigma}}{1-\sigma} dt$$

$$= \int_0^{\infty}L(t)^{-(1-\sigma)}e^{-\rho t}\frac{C^{1-\sigma}}{1-\sigma} dt$$

Normalizando la población inicial a tenemos entonces$L_0=1$$L(t) = e^{nt}$

$$...= \int_0^{\infty}(e^{nt})^{-(1-\sigma)}e^{-\rho t}\frac{C(t)^{1-\sigma}}{1-\sigma} dt = \int_0^{\infty}e^{-(1-\sigma)nt}e^{-\rho t}\frac{C(t)^{1-\sigma}}{1-\sigma} dt$$

$$=\int_0^{\infty}e^{-[\rho+(1-\sigma)n]t}\frac{C(t)^{1-\sigma}}{1-\sigma} dt$$

Con respecto a la aplicación del factor discounte en todo el Hamiltoniano, solo implica que los multiplicadores y deben tratarse como multiplicadores de valor presente y no como multiplicadores de valor actual . En la formulación del libro de texto y en las magnitudes per cápita, usualmente usamos multiplicadores de valor actual (corriente) e ignoramos totalmente el factor de descuento. Esto afecta la condición intertemporal de primer orden. En notación genérica, denote la variable de estado, el multiplicador el factor de descuento. Luego, con los multiplicadores de valor presente, tenemosμ B q $\lambda$$\mu$$B$$q$$r$

$$\frac{\partial H}{\partial B} = -\dot q$$

mientras que si interpretamos como un multiplicador de valor actual tenemos$q$

$$\frac{\partial H}{\partial B} = r q-\dot q$$