Explicar estrategias mixtas para juegos de un tiro.

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En la introducción clásica a la teoría de juegos no cooperativos, la estrategia mixta para un jugador se enseña como una distribución sobre el espacio de estrategia para el jugador. La distribución esencialmente nos da las probabilidades (digamos, conjunto de estrategias discretas) con las que un jugador debe jugar las estrategias en un equilibrio de Nash.

Sin embargo, las probabilidades conllevan la noción de ser frecuencias y esto esencialmente significa la fracción a largo plazo de los juegos en los que el jugador debe jugar la estrategia. Sin embargo, el escenario es un juego de un solo tiro y esto es una contradicción.

¿Cómo resolvemos la contradicción al explicar qué es una estrategia mixta?

game-theory

— Bravo
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No es una contradicción para alguien que toma la interpretación de propensión de la probabilidad, que ve el comportamiento a largo plazo como la manifestación de probabilidades de un solo caso.

— Pburg

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Ariel Rubinstein tiende a ser perspicaz con respecto a este tipo de preguntas.

Él aborda la interpretación de estrategias mixtas en la sección 3 de este documento.

Algunas posibles interpretaciones aparte de la aleatorización deliberada:

Purificación: una estrategia mixta es un plan de acción basado en información no especificada en el modelo.
Una historia ficticia a largo plazo.
Promedios de población, así que imagina que el jugador es sacado de alguna distribución de población donde diferentes tipos juegan diferentes estrategias puras. La distribución de la población es la distribución de estrategia mixta.

Una cotización con respecto jugador interesante 's estrategia mixta que refleja la incertidumbre entre ' s con respecto a lo $i$ $-i$ $i$ voy a hacer:

Alternativamente, la estrategia mixta puede verse como la creencia de todos los demás jugadores con respecto a las acciones de un jugador. Un equilibrio de estrategia mixta es, entonces, una n-tupla de expectativas de conocimiento común, que tiene la propiedad de que todas las acciones a las que se asigna una probabilidad estrictamente positiva son óptimas, dadas las creencias. El comportamiento de un jugador puede ser percibido por todos los demás jugadores como el resultado de un dispositivo aleatorio, aunque este no sea el caso. Adoptar esta interpretación requiere la reevaluación de gran parte de la teoría de juegos aplicada. En particular, implica que un equilibrio no conduce a una predicción (estadística o de otro tipo) del comportamiento de los jugadores. La acción de cualquier jugador i que es la mejor respuesta dada su expectativa sobre los otros jugadores el comportamiento (las otras estrategias n - 1) es consistente como una predicción para la acción de i (esto podría incluir acciones que están fuera del soporte de la estrategia mixta). Esto deja sin sentido cualquier estadística comparativa o análisis de bienestar del equilibrio de la estrategia mixta y pone en tela de juicio la enorme literatura económica que utiliza el equilibrio de la estrategia mixta.

— Pburg
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Supongamos que denota una estrategia que atribuye probabilidades a jugar , y que $s_i = \{p_A^i, p_B^i\}$ $A,B$ $s = \{s_i, s_i\}_i$ el conjunto de este tipo de estrategias que dan como resultado un equilibrio en una juego simétrico para dos jugadores.

Como dices, pensamos que son probabilidades con las que se juega una acción específica. Cuando $s_i$ $s$ no es un singleton, tenemos equilibrios múltiples, algo que no le gusta a la mayoría de las ramas de la economía, porque hace que la resolución de modelos sea bastante difícil, y la no unicidad es difícil de trabajar: ¿cómo debemos simular el modelo? ¿Cuál de los equilibrios se está jugando realmente?

Al menos, con equilibrios de estrategia mixta, sabemos la probabilidad de que ocurra cada uno de los equilibrios. No le gustan las probabilidades en la medida en que transportan frecuencias, que según usted están en contradicción con la noción de que el juego es de un solo tiro.

Simultáneamente Sin embargo, el juego de un solo tiro no significa que el juego solo se juega una vez. En un mundo con muchos individuos, todos pueden encontrar un compañero y jugar una de las estrategias en , en la medida en que nosotros (¡al mismo tiempo!) Encontremos en el equilibrio y la fracción $s$ $p_A$ $\{A, A\}$ $p_B$ de individuos que juegan el próximo equilibrio, etc.

Sin simulación Como alternativa, se podría argumentar que en un mundo con mucho anonimato, las personas olvidan a los socios con los que jugaron antes. Tenemos muchas personas que juegan estrategias en en el tiempo , luego las desacoplamos, les damos a todos nuevos socios y les dejamos jugar nuevamente. Incluso si existe la posibilidad de volver a encontrarse con el mismo tipo: dado que esa posibilidad es cero, podría modelar esto como un juego repetido con un factor de descuento . $s$ $t$ $\delta\rightarrow 0$

Falta de compromiso Finalmente, piense en situaciones que en realidad son juegos repetidos, como las interacciones entre el gobierno y los consumidores. Si bien esto podría modelarse como un juego repetido, podríamos pensar que el gobierno no puede comprometerse con una secuencia de estrategia. Por lo tanto, en lugar de modelar esto como un juego repetido, lo modelamos como repeticiones del equilibrio de una sola vez: dado un horizonte de tiempo , veremos que de las veces, el gobierno y los consumidores juegan el equilibrio , etc. $T$ $T\cdot p_A$ $\{A, A\}$

— FooBar
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Este es un suplemento de la cita de Pburg:

Un punto de vista en Aumann y Brandenburger (1995) es que la estrategia mixta es solo a los ojos de los oponentes. En un juego de jugadores, el conjunto de estados del mundo . Para un estado , cumple la siguiente especificación: $N$ $\mathbf {S} : = \times_{i \in N} S_i$ $s \in \mathbf S$

Para un jugador , sea la proyección de un estado $i$ $\pi_i : \mathbf {S} \to S_i$ $i$ $i$ $s_i$ $\pi_i^{-1}(s_i)$ $\pi_i^{-1}(s_i)$ $s_i$
$A_i$ $i$ $a_i : \mathbf{S} \to A_i$ $\left.a_i\right|_{\pi_i^{-1}(s_i)}$
Función de utilidad del jugador $i$ $g_i$ $a_i$ $g(s) : \mathbf{A} \to \mathbb{R}$ $s \in \pi_i^{-1}(s_i)$ $s_i$

— Metta Paz Mundial
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Bueno, aquí está mi oportunidad de responder, siguiendo este artículo en Física http://bayes.wustl.edu/etj/articles/prob.in.qm.pdf. Creo que esa propensión es una buena interpretación de estrategias mixtas, pero más formalmente deberíamos decir que captura la ignorancia del modelista. Decimos que todo vale, de hecho todas las estrategias podrían tomarse (si el apoyo es positivo en todas partes), pero el concepto de solución dice que es más probable. Las probabilidades aquí miden la ignorancia del modelista y son el resultado de la falta de información del teórico del juego sobre el juego. Para aclarar esta idea de un conjunto de datos mejorado donde conocemos información adicional sobre el juego, digamos que hablamos con uno de los jugadores y él nos asegura que va a tomar una estrategia sin importar qué, entonces podemos hacer una predicción más precisa en el forma de una estrategia pura. Las frecuencias surgen cuando pensamos en el juego como un juego típico,

— usuario157623
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No se aplica a todos los juegos, pero también hay situaciones en las que (al menos algunos de) los jugadores realmente usan dispositivos de aleatorización en juegos que podrían verse como de una sola vez. Aquí, las distribuciones de probabilidad no son frecuencias, son las distribuciones que usa el dispositivo de aleatorización. Cualquier equilibrio de estrategia mixta es entonces un equilibrio en un sentido ex ante (aunque los jugadores podrían muy bien recurrir al dispositivo de aleatorización una sola vez, y puede que no haya ningún sentido en el que la situación ex post sea un equilibrio).

Ejemplos incluyen:

— Martin Van der Linden
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