Encontrar el impuesto óptimo

Tengo un problema con respecto a las dos últimas preguntas de estos ejercicios porque no puedo entender cómo configurar mi modelo para encontrar el impuesto óptimo, la cantidad óptima que hay, ya que no había un impuesto.

Por favor comparte tus ideas conmigo. Gracias.

$\Pi_j(x_j)$$x_j$

$\Pi_j(x_j) = G(x_j) + F\left(\frac{x_j}{y}\right) =G(x_j) + F\left(R_j(x_j)\right)$

Al diferenciarlo obtenemos

$\Pi_j'(x_j) =G'(x_j) + F'\left(R_j(x_j)\right)R_j'(x_j)$

$\Pi_j'(x_j)$

$\Pi_j''(x_j) =G''(x_j) + F''\left(R_j(x_j)\right)(R_j'(x_j))^2 + F'\left(R_j(x_j)\right)R_j''(x_j) < 0$

$\Pi_j$

$x^{**}$

$x^{**}$

$G'(x^{**}) + F'\left(1\right)R_j'(x^{**}) = 0$

$x^{**}$$x^*$

$x^*$

$G'(x^{*}) = 0$

$x^{**}$

$G'(x^{**}) + F'\left(1\right)R_j'(x^{**}) = 0$

Combinando los dos, obtenemos

$F'\left(1\right)R_j'(x^{**}) = G'(x^{*}) - G'(x^{**})$

$F'\left(1\right) > 0$$R_j'(x^{**}) > 0$

$G'(x^{*}) - G'(x^{**}) > 0$

$G$$x^* < x^{**}$

$x^*$$x^{**}$

$\Pi_j(x^{**})=G(x^{**}) + F(1) = G(x^{**}) < G(x^{*})$

$x^{**}$$x^{*}$

$\theta^* > 0$$x^{**}= x^{*}$

$x^{**}$$\theta$

$G'(x^{**}) + F'\left(1\right)R_j'(x^{**}) - \theta = 0$

$\partial x^{**}/\partial \theta$$\theta$

$\displaystyle G''(x^{**})\frac{\partial x^{**}}{\partial \theta} + F'\left(1\right)R_j''(x^{**})\frac{\partial x^{**}}{\partial \theta} - 1 = 0$

Esto produce

$\displaystyle \frac{\partial x^{**}}{\partial \theta} = \frac{1}{G''(x^{**})+F'\left(1\right)R_j''(x^{**})} < 0$

$\theta^*$$x^{**} = x^*$

$G'(x^{**}) + F'\left(1\right)R_j'(x^{**}) - \theta = 0$

$x^{**} = x^*$

$\theta^* = F'\left(1\right)R_j'(x^{*})$