Valoración virtual cuando la distribución es discreta

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La valoración virtual de un comprador en una auctina es una función que se utiliza para calcular los ingresos de un vendedor de ese comprador. Cuando el valor del comprador proviene de una distribución continua con pdf y cdf , la valoración virtual es: ¿Cómo exactamente debe ser el valor virtual? valoración se calcula cuando la distribución es discreta? $f$ $F$

r (v) : = v - \frac{1 - F (v)}{F (v)}

$r(v) := v - \frac{1-F(v)}{f(v)}$

Por ejemplo, suponga que la valoración de un comprador puede tomar tres valores: 1 USD - con probabilidad 0.3, 2 USD - con probabilidad 0.3, 3 USD - con probabilidad 0.4. ¿Qué son exactamente y en este caso? $F$ $f$

auctions

— Erel Segal-Halevi
fuente

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La valoración virtual es la derivada de la función de ingresos esperados con respecto al cuantil que luego se evalúa en el valor . La función de ingresos es $q$ $v$

\begin{matrix} (1) & R (q) = q \cdot v (q), q = 1 - F (v), v (q) = F^{- 1} (1 - q) \end{matrix}

$R(q) = q\cdot v(q),\;\;\; q = 1-F(v),\;\;\; v(q) = F^{-1}(1-q) \tag{1}$

y

\begin{matrix} (2) & r (v (q)) : = \frac{re R (q)}{re q} = \frac{re}{re q} [q \cdot F^{- 1} (1 - q)] \end{matrix}

$r(v(q)): = \frac{dR(q)}{dq}= \frac{d}{dq}\big[q\cdot F^{-1}(1-q)\big] \tag{2}$

escrito, después de los cálculos, en términos de , entonces $v$

\begin{matrix} (3) & r (v) = v - \frac{1 - F (v)}{F (v)} \end{matrix}

$r(v)=v - \frac{1-F(v)}{f(v)} \tag{3}$

Si es discreto tenemos $v$

\begin{matrix} (4) & q_{j} = 1 - F (v \leq v_{j}), j = 1, . . ., k \end{matrix}

$q_j = 1-F(v\leq v_j),\;\;\; j=1,...,k \tag{4}$

donde ahora es una función de distribución de una variable aleatoria discreta, un donde cuenta los valores discretos ordenados que puede tomar, . $F$ $j$ $v$ $v \in \{v_1,...,v_k\}$

Discretizando la relación que podríamos definir

\begin{matrix} (5) & r (v (q_{j}, q_{j + 1})) : = \frac{R (q_{j + 1}) - R (q_{j})}{q_{j + 1} - q_{j}} \end{matrix}

$r(v(q_j, q_{j+1})):= \frac{R(q_{j+1})-R(q_j)}{q_{j+1}-q_j} \tag{5}$

$v$

r (v (q_{j}, q_{j + 1})) : = \frac{v_{j + 1} \cdot [1 - F (v \leq v_{j + 1})] - v_{j} \cdot [1 - F (v \leq v_{j})]}{1 - F (v \leq v_{j + 1}) - 1 + F (v \leq v_{j})}

$r(v(q_j, q_{j+1})):= \frac{v_{j+1}\cdot [1- F(v\leq v_{j+1})] -v_{j}\cdot [1- F(v\leq v_{j})]}{1- F(v\leq v_{j+1})-1+F(v\leq v_{j})}$

= \frac{v_{j + 1} \cdot PAG r (v > v_{j + 1}) - v_{j} \cdot PAG r (v > v_{j})}{- PAG r (v = v_{j + 1})}

$=\frac{v_{j+1}\cdot Pr(v > v_{j+1}) -v_{j}\cdot Pr(v > v_{j})}{-Pr(v=v_{j+1})}$

Utilizando

PAG r (v > v_{j}) = PAG r (v = v_{j + 1}) + PAG r (v > v_{j + 1})

$Pr(v > v_{j}) = Pr(v=v_{j+1}) + Pr(v>v_{j+1})$

obtenemos

r (v_{j}, v_{j + 1}) = v_{j} - (v_{j + 1} - v_{j}) \cdot \frac{PAG r (v > v_{j + 1})}{PAG r (v = v_{j + 1})}

$r(v_j,v_{j+1}) = v_{j} - (v_{j+1}-v_j)\cdot \frac{Pr(v>v_{j+1})}{Pr(v=v_{j+1})}$

o

\begin{matrix} (6) & r (v_{j}, v_{j + 1}) = v_{j} - (v_{j + 1} - v_{j}) \cdot \frac{1 - F (v_{j + 1})}{PAG r (v = v_{j + 1})} \end{matrix}

$r(v_j,v_{j+1}) = v_{j} - (v_{j+1}-v_j)\cdot \frac{1-F(v_{j+1})}{Pr(v=v_{j+1})} \tag{6}$

$v$ $v_j,v_{j+1}$

PAG r [v \in (v_{j}, v_{j + 1})] \approx F (v_{j + 1}) \cdot (v_{j + 1} - v_{j})

$Pr[v \in (v_j,v_{j+1})] \approx f(v_{j+1}) \cdot (v_{j+1}-v_{j})$

Está claro cómo la relación obtenida para el caso discreto puede verse como el análogo del caso continuo.

$(6)$

— Alecos Papadopoulos
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Las distribuciones discretas no tienen pdf .

$r(v)$ $f(v)$ $X$ $X_n$

\forall v : lim_{norte \to \infty} F_{norte} (v) = F (v),

$\forall v: \lim_{n \to \infty} F_n(v) = F(v),$

lim_{n \to \infty} r_{n} (v)

$\lim_{n \to \infty} r_n(v)$

lim_{n \to \infty} f_{n} (v) = 0

$\lim_{n \to \infty} f_n(v) = 0$

— Giskard
fuente

Entonces, ¿hay alguna manera de utilizar la teoría óptima de las subastas cuando las valoraciones de los compradores provienen de distribuciones discretas?

— Erel Segal-Halevi

Depende de la distribución. Pero esa no era tu pregunta, ¿verdad?

— Giskard