¿Cuál de los axiomas de Anscombe-Aumann implica el principio Sure-Thing?

Considere una configuración de Anscombe-Aumann y suponga que una relación de preferencia satisface todos los axiomas originales de Anscombe-Aumann (racionalidad, continuidad, independencia y monotonicidad).

Si restringimos la atención a las carreras de caballos puras (es decir, actúa sin ninguna incertidumbre objetiva), el modelo de Anscombe-Aumann se reduce a una representación de Utilidad esperada subjetiva a la Savage. Por lo tanto, en las carreras de caballos puras, el responsable de la toma de decisiones satisface todos los axiomas de Savage, especialmente el Principio de la Cosa Segura (P2 en la terminología de Savage).

No veo la conexión directa entre los axiomas de Anscombe-Aumann y el Principio de la Cosa Segura. ¿Alguien ve cómo el Principio de lo Seguro está implícito en los axiomas de Anscombe-Aumann? En particular, ¿se debe solo a la independencia, o se requiere independencia y monotonicidad?

Como primer comentario: los axiomas Anscombe-Aumann, en particular la Independencia, se definen sobre los actos que llevan el espacio de estado a un espacio lineal (generalmente loterías simples sobre objetos de consumo). Incluso cuando consideramos la restricción del modelo a actos puramente subjetivamente inciertos, aún necesitamos emplear el modelo completo o perderemos información.

$S$$X$$\Delta(X)$$X$$f: S \to \Delta(X)$$E \subseteq S$$f_{-E}g$

$$f_{-E}g \begin{cases} f(s) \text{ if } x \in E \\ g(s) \text{ if } x \notin E. \end{cases}$$

$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$$f \succsim g.$

Asuma el antecedente del STP. De e independencia tenemos que Tenga en cuenta que podemos reescribir esto como y, aplicando la independencia nuevamente, obtenemos $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$

$$\frac12 f_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h \succsim \frac12 g_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h.$$ $$\frac12 f + \frac12 h \succsim \frac12 g_{-E}f + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{1} f \succsim g_{-E}f. \end{equation}$$

De manera análoga, desde e independencia tenemos que Nuevamente, podemos reescribir como y, aplicando la independencia nuevamente, obtenemos $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$\frac12 f_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h \succsim \frac12 g_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h.$$ $$\frac12 g_{-E}f + \frac12 h \succsim \frac12 g + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{2} g_{-E}f \succsim g. \end{equation}$$

La combinación de (1) y (2) por transitividad produce las relaciones deseadas. Volviendo a la observación preliminar, observe que para aplicar la independencia, necesitamos mezclar actos, apelando al riesgo objetivo. Por lo tanto, incluso cuando , y tienen ningún riesgo objetivo, todavía necesitamos actos riesgosos para servir como intermediario en la prueba. En cierto sentido, esta es la gran idea de todo el marco de AA: utilizar el riesgo objetivo para evitar la necesidad de un espacio de estado infinito utilizando la linealidad de las expectativas para forzar el STP.$f$$g$$h$

Observe que solo se utilizaron independencia y transitividad. Esto debería indicar que incluso la UE dependiente del estado (donde falla la monotonicidad / independencia del estado) o la UE de Bewley (donde la integridad es relajada) aún satisfará al STP.

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Edite en respuesta a un comentario: llamemos a la noción anterior del Principio Sure Thing STP1 y digamos que la preferencia satisface STP2 si para todos los . Entonces, si es un pedido , satisface STP1 si y solo si satisface STP2.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h \iff f_{-E}h' \succsim g_{-E}h'$$f,g,h,h'$$\succsim$

Primero suponga que STP2 se mantiene y que y . Entonces, por STP2 tenemos La transitividad implica ; STP1 se mantiene.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$f = f_{-E}f \succsim g_{-E}f \qquad \text{ and } \qquad g_{-E}f = f_{-E^c}g \succsim g.$$ $f \succsim g$

A continuación, suponga que STP1 se mantiene y . Defina y análoga. Por definición, entonces nuestra suposición es idénticamente que Además así que tenemos, por la reflexividad de preferencia, que Ahora podemos aplicar STP1 a (3) y (4) para obtener ese$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$\hat f = f_{-E}h'$$\hat g$

$$\hat f_{-E}h = f_{-E}h \qquad \text{ and } \qquad \hat g_{-E}h = g_{-E}h,$$ $$\begin{equation} \tag{3} \hat f_{-E}h \succsim \hat g_{-E}h. \end{equation}$$ $\hat f_{-E^c}h = \hat g_{-E^c}h = h'_{-E}h$ $$\begin{equation} \tag{4} \hat f_{-E^c}h \succsim \hat g_{-E^c}h. \end{equation}$$ $\hat f \succsim \hat g$, que, dada su definición, es exactamente lo que necesitamos mostrar para que STP2 se mantenga.