Funciones de utilidad: ¿Implica un consumo infinito?

¿Las funciones de utilidad implican que si el ingreso de un consumidor es infinito, su consumo también debería ser infinito? La razón por la que creo que este es el caso se basa en mi comprensión básica de las funciones de utilidad.

Recuerde su función de utilidad de estilo cobb-douglas:

$$ U (x_1 ... x_n) = \ prod_ {i = 1} ^ nx_i ^ {\ alpha_i} $$

donde $ 0 & lt; \ alpha_i & lt; 1 $ y $ \ sum_ {i = 1} ^ n \ alpha_i = 1 $

Si nuestro consumidor maximiza la utilidad, debería gastar todos sus ingresos en un período determinado o incluso en períodos múltiples.

Una aplicación práctica sería responder a la pregunta de si o no el crecimiento del consumo en el consumo ( do ) en la ecuación del PIB puede crecer manteniendo el número de consumidores en una economía fija como se argumenta en mi respuesta ¿Puede una economía crecer sin que su población crezca? .

Gracias a Kenny LJ por inspirar esta pregunta.

Cuando la función de utilidad está aumentando estrictamente, se deduce que más consumo proporciona más utilidad. Así que parece evidente decir "más ingresos más consumo". Pero discutir el infinito fuera de las matemáticas no tiene sentido. Así que queremos examinar

$$ u '(c) & gt; 0 \; \; \; \ forall c, \; \; \; I \ to \ infty \; \; \;? \ Implica? \; \; \; c \ to \ infty $$

Y la respuesta es "la pregunta es indeterminada" o al menos "depende de los detalles", ya que lo que importa es la tasa a la que los Ingresos y el Consumo "van al infinito". Si el consumo va más rápido, eventualmente agotará los ingresos infinitos, y si el consumidor tiene un horizonte infinito, terminará sin ingresos. Etc.

Si queremos entretener los conceptos del Análisis no estándar y tratar el "infinito" no como un concepto limitante sino como algo más concreto, entonces la respuesta será la misma, ya que esto será indeterminado también en el Análisis no estándar, en ausencia de Particularidades de la situación.