¿Es necesaria la convexidad de los conjuntos de producción para los teoremas del bienestar?

He leído que la convexidad de los conjuntos de producción (por ejemplo, rendimientos a escala no crecientes) no es una suposición necesaria para el primer teorema del bienestar, pero sí lo es para el segundo teorema del bienestar. Tal vez me equivoqué y lo que el autor realmente trató de decir es que la convexidad no es necesaria para la eficiencia del equilibrio competitivo, sino para la existencia del equilibrio competitivo.

¿Podría explicar dónde se necesita el supuesto de conjuntos de producción convexos en el primer y segundo teorema del bienestar?

La convexidad del conjunto de producción de hecho no es necesaria para la prueba del primer teorema del bienestar sino para la prueba del segundo teorema del bienestar. Sin embargo, no es una condición necesaria.

Es posible interpretar esto como un problema de existencia. El primer teorema del bienestar trata sobre todos los equilibrios competitivos y se mantiene trivialmente si no hay ninguno. El segundo teorema del bienestar, por otro lado, establece que para una asignación eficiente de Pareto dada, existe un sistema de precios y una redistribución de las dotaciones con respecto a las cuales es un (cuasi) equilibrio.

La prueba estándar del segundo teorema del bienestar utiliza un resultado de Minkowski sobre la separación de conjuntos convexos no superpuestos por un hiperplano, pero es posible probar una versión del segundo teorema del bienestar como corolario de un resultado de existencia por un buen argumento debido a Maskin y Roberts. El argumento es bastante fácil en el caso de una economía cambiaria: tome una asignación eficiente de Pareto como la distribución de la dotación. Si existe un equilibrio competitivo de estas dotaciones, todos terminarán con algo al menos tan bueno como su dotación. Dado que la distribución de la dotación fue eficiente para Pareto, nadie puede terminar con algo mejor. Por lo tanto, todos deben ser indiferentes entre su paquete de productos básicos demandado y su dotación, por lo que también podrían exigir solo su dotación. El argumento generaliza a las economías con producción.