Derivando una función de mejor respuesta en Baik (1994)

Estoy leyendo un artículo relacionado con la teoría de juegos *, y no sigo la derivación de alguna propiedad de las funciones de mejor respuesta.

Supongamos que tengo dos jugadores $1$ y $2$ , cuyas estrategias son continuos niveles de esfuerzo $x_1$ y $x_2$ , respectivamente. La primera condición de la orden está dada por una estrategia de equilibrio de Nash se da simplemente de manera estándar por $argmax_{x_1}(\pi_1)$ :

\frac{\partial π_{i}}{\partial x_{1}} = \frac{α σ h^{'} (x_{1}) h (x_{2})}{(σ h (x_{1}) + h (x_{2}))^{2}} - 1 = 0

$\frac{\partial \pi_i}{\partial x_1}=\frac{\alpha\sigma h'(x_1)h(x_2)}{(\sigma h(x_1)+h(x_2))^2}-1=0$

Sea función de reacción del $x_1=r_1(x_2)$ jugador $1$ . Dado que se deriva de la condición de primer orden del jugador $1$ (arriba), obtenemos su derivada al diferenciar [el FOC anterior]:

$\frac{d r_{1} (x_{2})}{d x_{2}} = \frac{h^{'} (x_{1}) h^{'} (x_{2}) (σ h (x_{1}) - h (x_{2}))}{h (x_{1}) [h^{″} (x_{2}) (σ > h (x_{1}) + h (x_{2}) - 2 h^{'} (x_{2}))^{2}]}$ $\frac{dr_1(x_2)}{dx_2}=\frac{h'(x_1)h'(x_2)(\sigma h(x_1)-h(x_2))}{h(x_1)[h''(x_2)(\sigma > h(x_1)+h(x_2)-2h'(x_2))^2]}$

Tenga en cuenta que esta no es la derivada de la primera ecuación wrt $x_2$ , que simplemente es

\frac{α σ h^{'} (x_{1}) h^{'} (x_{2}) (σ h (x_{1}) - h (x_{2}))}{(σ h (x_{1}) + h (x_{2}))^{3}} = 0

$\frac{\alpha\sigma h'(x_1)h'(x_2)(\sigma h(x_1)-h(x_2))}{(\sigma h(x_1)+h(x_2))^3}=0$

Sin embargo, además de este enfoque, no veo cómo se puede obtener la ecuación. Reorganizar para expresar la función BR del jugador la manera convencional tampoco parece una opción aquí, ya que la función no está definida, y la función BR también se volvería mucho más desordenada de lo que se cita. $x_1$ $1$ $h$

* Parte del trabajo se encuentra en un apéndice técnico en otro lugar, que puedo enviar por correo electrónico.

microeconomics mathematical-economics game-theory

— pafnuti
fuente

Dado que la condición de primer orden que determina la función de reacción es una función implícita, puede usar el teorema de la función implícita para determinar esa derivada. No lo he verificado porque es tedioso, pero supongo que llegarías a la derivada que tienes allí

— Maarten Punt

Resuelva para .

\frac{\partial \frac{\partial π_{1}}{\partial x_{1}}}{\partial x_{2}} = 0

$\frac{\partial \frac{\partial \pi_1}{\partial x_1}}{\partial x_2} = 0$

\frac{\partial x_{1}}{\partial x_{2}}

$\frac{\partial x_1}{\partial x_2}$

— despistado