¿El camino de la silla de montar no puede atravesar el origen en el modelo de Ramsey?

En mi caso, la función de utilidad es CEIS y discreta, la función de producción es $ f (k_ {t}) = k_ {t} ^ \ alpha $, la restricción de presupuesto es $ f (k_ {t}) + (1- \ delta) k_ {t} = c_ {t} + k_ {t + 1} $. Utilizo la matriz jacobiana y la factorización de Schur para obtener la función de política linealizada para el consumo, por lo tanto puedo trazar el camino de la silla de montar y los brazos inestables. Al final se ven a continuación. Sin embargo, leí que el camino de la silla de montar debe pasar por el origen, lo que no está bien en mi trama.

Así que mi pregunta es: ¿el camino de la silla de montar siempre pasa por el origen?

Supongo que ya has pasado por el álgebra a continuación, pero solo por contexto, el problema que estás tratando de resolver es

$$ \ max_ {c} \ sum_ {t = 0} ^ {+ \ infty} \ beta ^ t u (c_t) \\ \ text {s.t.} ~~ f (k_t) + (1- \ delta) k_t = c_t + k_ {t + 1} \ etiqueta {1} $$

donde $ f (k_t) = k_t ^ \ alpha $ y

$$ u (c_t) = \ frac {c_t ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma} - 1 \ tag {2} $$

El problema en (1) se puede convertir en las dos ecuaciones acopladas

\ begin {eqnarray} u '(c_t) & amp; = & amp; \ beta [1 + f '(k_ {t + 1}) - \ delta] u' (c_ {t + 1}) \\ k_ {t + 1} & amp; = & amp; f (k_t) + (1- \ delta) k_t - c_t \ tag {3} \ end {eqnarray}

donde $ u '(x) = x ^ {- \ gamma} $, y $ f' (x) = \ alpha x ^ {\ alpha-1} $. Estos primeros de ecs. (3) se puede invertir para obtener una expresión para $ c_ {t + 1} $ en términos de $ (k_t, c_t) $, lo que lleva a

\ begin {eqnarray} c_ {t + 1} & amp; = & amp; \ beta ^ {1 / \ gamma} c_t [1 + \ alpha [k_t ^ \ alpha + (1- \ delta) k_t - c_t] ^ {\ alpha-1} - \ delta] ^ {1 / \ gamma} \ \ k_ {t + 1} & amp; = & amp; f (k_t) + (1- \ delta) k_t - c_t \ tag {4} \ end {eqnarray}

Que se puede expresar como

$$ {\ bf x} _ {t + 1} = {\ bf F} ({\ bf x} _ {t}) ~~~ \ mbox {con} ~~~ {\ bf x} _t = \ left (\ comience {array} {c} c_ {t} \\ k_ {t} \ end {array} \ right) \ tag {5} $$

Un punto fijo $ {\ bf x} ^ * $ del mapa $ {\ bf F} $ es tal que

$$ {\ bf x} ^ * = {\ bf F} ({\ bf x} ^ *) \ tag {6} $$

es decir, un punto para el cual el sistema no evoluciona. Si usa $ \ gamma = 2 $, $ \ beta = 0.9964 $, $ \ alpha = 0.36 $, $ \ delta = 0.025 $ este punto es (se encuentra al resolver la ecuación (6))

$$ {\ bf x} ^ * = \ left (\ begin {array} {c} c ^ * \\ k ^ * \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {c} 2.84829 \\ 52.2808 \ end {array} \ right) \ tag {7} $$

que es claramente diferente de cero! Puede linealizar $ {\ bf F} $ alrededor de $ {\ bf x} ^ * $ y escribir el resultado como

$$ {\ bf y} _ {t + 1} = {\ bf J} {\ bf y} _t ~~~ \ mbox {where} ~~~ {\ bf y} _t = {\ bf x} _ {t} - {\ bf x} ^ *, ~~~ {\ bf J} = \ left. \ frac {\ partial {\ bf J}} {\ partial {\ bf x}} \ right | _ {{\ bf x } = {\ bf x} ^ *} \ tag {8} $$

¿Es este último sistema el que tiene un punto de silla en $ {\ bf y} = 0 $?