Lo siguiente es tomado de Baye, Shin (1999)
Considere un concurso sobre un premio valorado en 1 con jugadores simétricos $ 1 $ y $ 2 $ que ejercen un nivel de esfuerzo $ x_1 $ y $ x_2 $ respectivamente. El esfuerzo no puede exceder de $ 2/3 $. La ganancia ($ \ pi $) del jugador 1 es
$$ \ pi_1 = \ frac {x_1- \ frac {x_1x_2} {2}} {x_1 + x_2-x_1x_2} -x_1 $$
El equilibrio de movimientos simultáneos es (denotado con superíndice $ * $)
$$ x_1 ^ * = x_2 ^ * = 1- \ frac {\ sqrt {2}} {2} $$
El beneficio para cada uno es
$$ \ pi_1 ^ * (x_1 ^ *, x_2 ^ *) = \ pi_2 ^ * (x_1 ^ *, x_2 ^ *) = \ frac {\ sqrt {2} -1} {2} $$
Y tenemos que la mejor respuesta del jugador $ 2 $.
$$ R_2 (x_1) = \ frac {2x_1- \ sqrt {(- 2x_1 ^ 2 + 4x_1)}} {2 (x_1-1)} $$
Sin embargo, supongamos que el jugador $ 1 $ 'se mueve' antes del jugador $ 2 $. Luego, el jugador $ 1 $ se desviaría (hacia arriba) de $ x_1 ^ * $, probablemente, porque el jugador $ 2 $ reduciría su nivel de esfuerzo y recibiría más del premio. ¿Cómo se muestra esto?
En el artículo, Baye y Shin consideran el nuevo equilibrio de Stackelberg $ \ pi_1 ^ s $ donde muestran que $ \ pi_1 ^ s (x_1 ^ * + \ epsilon) & gt; 0 $ para algunos $ \ epsilon & gt; 0 $. Específicamente
$$ \ pi_1 ^ s (x_1 ^ * + \ epsilon) - \ pi_1 ^ * (x_1 ^ * + x_2 ^ *) = \ frac {\ sqrt {1 + 2 \ epsilon \ sqrt {2} -2 \ epsilon ^ 2} -1- \ epsilon \ sqrt {2} +2 \ epsilon ^ 2} {\ sqrt {2} -2 \ epsilon} & gt; 0 $$
He intentado replicar su resultado al ver cómo cambia $ x_2 $ con $ x_1 + \ epsilon $ y sustituyendo $ x_1 + \ epsilon $ y el nuevo valor de $ x_2 ^ s $ en la función de ganancia de $ 1 $, pero no logro alcanzar su resultado
