Homogéneo de grado uno en función de utilidad.

Pregunta

Mi solución es la siguiente. Por favor revisa mi solución. Si me equivoco, por favor dígalo. Realmente no estoy seguro de mi solución. Gracias

U (x) es homogéneo de grado uno, es decir, u (tx) = tu (x)

En primer lugar, muestro que la función de utilidad indirecta es homogénea de grado uno en m.

Por la maximización de la utilidad,

V (p, m) = max u (x) sujeto a px $\le$ m

tv (p, m) = max tu (x) sujeto a px $\le$ m

Como u (tx) = tu (x), tv (p, m) = max u (tx) sujeto a px $\le$ m

Entonces v (p, tm) = tv (p, m)

Esa es la función de utilidad indirecta es homogénea de primer grado.

Demuestro que la función de gasto es homogénea de grado uno en u utilizando el resultado anterior.

Yo sé eso

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

Como u (x) es homogéneo de grado uno y v (p, m) es homogéneo de grado uno en m, v (p, e (p, u)) tiene que ser homogéneo de grado uno en e (p, u) .

En otras palabras, v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) contiene iff e (p , tu (x)) = te (p, u (x))

es decir, la costosa función e (p, u) es homogénea de grado uno en u.

Ahora demostraré que la demanda marshalliana x (p, m) es homogénea de grado uno en m.

Por la identidad de Roy,

\frac{\partial v (p, m) / \partial p}{\partial v (p, m) / \partial m} = x (p, m)

$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$

Por el primer resultado, dado que v (p, m) es homogéneo de grado uno en m, entonces x (p, m) es homogéneo de grado uno en m.

ahora demostremos que la demanda hicksiana es homogénea de grado uno en u.

Yo sé eso

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

x (p, tm) = tx (p, m) = tx (p, e (p, u)) = x (p, te (p, u))

Como e (p, u) es homogéneo de grado uno en la segunda parte,

x (p, te (p, u)) = x (p, e (p, u (tx)) = h (p, u (tx)) = h (p, tu (x)) = th (p, u (x)) debe mantenerse ya que existe la igualdad (1).

Esa es la demanda hicksiana es homogénea de grado uno en ti.

— ninguno009
fuente

u (t x) = t u (x) ⟹ t v (p, m) = max u (t x) s . t . p (t x) \leq t m = v (p, t m)

$u(tx)=tu(x)\implies tv(p,m)=\max u(tx) \;\;s.t.\;\; p(tx)≤ tm = v(p,tm)$

La forma en que muestra que es homogénea de grado uno en es correcta, pero la razón por la cual esto implica que, es homogénea de grado uno en , no es muy precisa en su argumento . Por ejemplo, la dualidad nos dice donde es solo un nivel de utilidad objetivo, pero no debería ser como en su prueba. $v(p,m)$ $m$ $e(p,u)$ $u$

v (p, e (p, u)) = u,

$v(p,e(p,u))=u,$

u

$u$

u (x)

$u(x)$

Aquí hay una forma posible de proceder: dado que es homogéneo de grado uno en , se puede escribir como La aplicación de la igualdad da que implica claramente que es homogénea de grado uno en . Puede usar un argumento similar para demostrar la homogeneidad de la demanda de Hicks. $v(p,m)$ $m$

v (p, m) = m v (p, 1) = m \tilde{v} (p) .

$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$

v (p, e (p, u)) = u

$v(p,e(p,u))=u$

e (p, u) = \frac{u}{\tilde{v} (p)},

$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$

e (p, u)

$e(p,u)$

u

$u$

Con todo lo dicho, le sugiero que pruebe la declaración original directamente usando las definiciones de la función de gasto y la demanda Hicksiana. Por ejemplo,

\begin{aligned} e (p, λ u) & = min p \cdot x s.t. u (x) \geq λ u \\ = λ min p \cdot \frac{1}{λ} x s.t. \frac{1}{λ} u (x) \geq u \\ = \dots \end{aligned}

$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$

— Ziwei Wang
fuente

OK gracias. Lo hago por la demanda hicksiana también. Por favor, compruebe mi solución también para la demanda hicksian. nuevamente normalicemos m = 1. Y . Como entonces tengo por lo tanto, dado que e (p, u) es homogéneo de grado uno en u, entonces la demanda hicksiana también es homogénea de grado uno en u. ¿Es esto correcto? Compruébalo de nuevo, querido @ZiweiWang, muchas gracias. :)

x (p, m) = m x (p, 1) = m \tilde{x} (p)

$x(p,m)=mx(p,1)=m\tilde {x}(p)$

x (p, e (p, u)) = h (p, u)

$x(p,e(p,u))=h(p,u)$

\frac{h (p, u)}{m \tilde{x} (p)} = e (p, u)

$\frac{h(p,u)}{m\tilde {x}(p)}=e(p,u)$

— none009

Observe que conectó , entonces (es decir, no debería aparecer en su expresión para .)

m = e (p, u)

$m=e(p,u)$

h (p, u) = \tilde{x} (p) e (p, u)

$h(p,u)=\tilde{x}(p)e(p,u)$

m

$m$

h (p, u)

$h(p,u)$

— Ziwei Wang