Los monopolios son solo un malentendido matemático

Un pequeño rascador de cabeza (y un buen ejemplo de por qué debemos tener cuidado con la notación).

Considere un monopolio de maximización de ganancias, que resuelve el precio

$$\max \pi = PQ(P) - C(Q(P)) \tag{1}$$

Siguiendo los pasos de rutina ( ver esta publicación )

llegamos al importante resultado de que, al precio de maximización de beneficios, la elasticidad precio de la demanda debería ser mayor que en términos absolutos, o menor que en términos algebraicos. Es decir, al precio de maximización de beneficios que tenemos- $1$$-1$

$$\eta^* = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} <-1 \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P <-Q$$

$$\Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q <0 \tag{2}$$

Pero es la derivada de y , Ingresos totales. Entonces , Marginal Revenue y acabamos de obtenerlo al precio de maximización de ganancias y para tener una elasticidad mayor que en términos absolutos, debemos tener .$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q$$PQ(P)$$PQ(P) = TR$$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q = MR$$1$$MR^* <0$

Pero también ahora que en el punto de maximización de ganancias tenemos .$MR^*=MC^*>0$

Por lo tanto, no existe una solución y, por lo tanto, concluimos que los monopolios son solo un malentendido matemático.

Ahora, me metí en problemas (?) Para escribir esta publicación sonriente, espero que alguien entre en las pocas docenas de segundos necesarios para escribir una respuesta clara para señalar dónde está el truco.

$PQ(P)=TR$ , Ingresos totales.

PQ(P)P$\frac{∂Q}{∂P}P+Q$ es la derivada de con respecto a .$PQ(P)$ $P$

T R Q$MR$ , el ingreso marginal, es la derivada de con respecto a .$TR$ $Q$

Entonces, en general$\frac{∂Q}{∂P}P+Q \neq MR$

Para complementar la respuesta directa de @AdamBailey, el propósito de esta publicación fue alertar a los lectores interesados ​​sobre las consecuencias de cambiar las variables de decisión en nuestro pensamiento.

Estamos acostumbrados a pensar en la Demanda como "precio según la cantidad" o "cantidad según el precio". Pero en el lado del costo de producción, automáticamente tendemos a pensar en el costo dependiendo de la cantidad, no del precio de venta.

Por lo tanto, ser incluso un poco tediosamente explícito con notación vale la pena (pregunte a los chicos sobre la optimización dinámica, por ejemplo, el libro de Caputo ). En el ejemplo específico, los símbolos , M R , M C no revelan la variable de decisión, y aquí es donde se basó el truco. Pero si, escribimos$TR$$MR$$MC$

$$\max \pi = TR[Q(P)] - C[Q(P)]$$

indicaríamos claramente que nuestra variable de decisión final es el precio, y así

$$f.o.c: \;\;\;MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} - MC(Q)\frac {\partial Q}{\partial P} =0$$

$$\implies (MR(Q) - MC(Q))\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} =0 \implies MR(Q) = MC(Q)$$

mientras que también veríamos claramente que

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q$$

y para que el requisito sobre la elasticidad precio de la demanda lleve a

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(P) = Q\frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q < 0 \implies MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} < 0 \implies MR(Q) >0$$

(desde $\frac {\partial Q}{\partial P} <0$