Cuando el control óptimo falla (?)

Para "hacer mi pregunta", primero tengo que resolver un modelo. Omitiré algunos pasos, pero aún así, esto inevitablemente hará que esta publicación sea muy larga, por lo que también es una prueba para ver si a esta comunidad le gustan este tipo de preguntas.

Antes de comenzar, aclaro que esto puede parecer totalmente un modelo de crecimiento neoclásico estándar en tiempo continuo, pero no lo es : se trata de un solo individuo, que no "representa" a nadie más en la economía que lo rodea, una economía que No está modelado. El marco aquí es "la aplicación del Control Óptimo al problema de maximización de un solo individuo". Se trata del marco y el método de la solución Optimal Control.

Resolvemos el problema de maximización de la utilidad intertemporal de un pequeño empresario que posee el capital de su empresa, mientras compra servicios laborales en un mercado laboral perfectamente competitivo y vende su producto (donas frescas) en un mercado de bienes perfectamente competitivo. Establecemos el modelo en tiempo continuo sin incertidumbre (las condiciones socioeconómicas son constantes) y con un horizonte infinito (el empresario prevé muchas copias futuras de él seguidas):

$$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$$

donde $c$ es el consumo del empresario, $\ln c$ es la utilidad instantánea del consumo, $\rho>0$ es la tasa de preferencia de tiempo puro, $k$ es el capital de la empresa, $\delta$ es la tasa de depreciación del capital $f(k,\ell)$ Es la función de producción de la empresa. Se da el nivel inicial de capital, $k_0$ . La propia ocupación del empresario con el negocio se incluye en el capital. La función de producción es neoclásica estándar (rendimientos constantes a escala, productos marginales positivos, segundos parciales negativos, condiciones Inada). Las restricciones son la ley del movimiento del capital y la condición de transversalidad utilizando el multiplicador de valor actual.

Configurar el valor actual hamiltoniano

$$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$$

calculamos las condiciones de primer orden

$$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$$

$$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$$

$$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$$

y combinándolos obtenemos la ley de evolución del consumo de nuestro empresario,

$$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$$

De la regla óptima para la demanda de trabajo (estática) y los retornos constantes a la implicación de escala ( ) obtenemos . Insertando esto en la ley del movimiento del capital obtenemosf = f k k + f ℓ ℓ f - w ℓ = f k$\ell: f_{\ell} =w$$f = f_kk + f_{\ell}\ell$$f-w\ell = f_kk$

$$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$$

Las ecuaciones y forman un sistema de ecuaciones diferenciales. Los valores de estado estacionario para el consumo y el capital del empresario son( 2 $(1)$$(2)$

$$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$$

$$\Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$$

... que es una expresión bastante familiar.

$k^*$ veces se llama el nivel de capital "regla de oro modificada". El jacobiano del sistema evaluado en los valores de estado estacionario tiene un determinante negativo para cualquier valor de los parámetros del modelo , que es una condición necesaria y suficiente para que el sistema exhiba estabilidad en el camino de la silla de montar.

El máximo del locus está en el punto, (a veces llamado el nivel de capital "regla de oro") ˜ $\dot k =0$$\tilde k$

$$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$$

El valor es importante como punto de referencia: es el nivel de capital donde y es a un máximo (no óptima o estado estacionario ).˙ k =0$\tilde k$$\dot k =0$$c$

El loci cruza el eje horizontal del diagrama de fase (que mide el capital) en el nivel de capital de estado estacionario .k$\dot c=0$$k^*$

Si , que requiere debido a segundos parciales negativos, tendremos una "acumulación excesiva de capital" (demasiadas rosquillas): el empresario podría disfrutar más estable- consumo estatal con menor nivel de capital. Usando y tenemos f ∗ k < f k ( ˜ k ) ( 3 ) ( 4 $k^* > \tilde k$$f_k^* < f_k(\tilde k)$$(3)$$(4)$

$$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$$

$$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$$

La desigualdad es la condición para un nivel de capital de estado estacionario subóptimo. Y es que no podemos descartarlo . Simplemente requiere que el empresario sea "suficientemente paciente", con una tasa suficientemente pequeña de preferencia de tiempo puro, pero aún positivo.$(5)$

Aquí comienza el problema: la sobreacumulación de capital está efectivamente excluida en el modelo de agente representativo. Es posible en modelos de generación superpuestos, pero como consecuencia involuntaria a nivel macroeconómico, uno de los primeros ejemplos de que la macroeconomía puede ser micro-fundada y aún comportarse de manera diferente al micro-mundo.

Pero nuestro modelo no pertenece a ninguna de las dos categorías: es un modelo de equilibrio parcial de un solo agente en un entorno implícitamente heterogéneo, y el equilibrio general aquí no alterará los resultados: esta persona se representa solo a sí mismo. Entonces, el problema es que si cumple, entonces la solución de Control Óptimo será obviamente subóptima , porque aquí tenemos una sola persona, una sola voluntad, una sola mente: al mirar la solución, nuestro empresario dirá: " oye, este método no tiene valor, si sigo sus consejos terminaré con un nivel de capital subóptimamente alto ". $(5)$

Y no me satisface decir simplemente "bueno, el control óptimo no es adecuado para este problema, pruebe con otro método", porque no puedo ver por qué deberíamos considerarlo inadecuado. Pero si es adecuado, entonces el método debe indicar que algo está mal, en algún momento debe requerir que no se mantenga, para poder ofrecer una solución (si sucede que no espera, todo se ve bien).( 5 $(5)$$(5)$

Uno podría preguntarse "¿tal vez se viola la condición de Transversalidad si cumple?" -pero no parece que lo haga, ya que , que va a una constante positiva, mientras que va a cero, requiriendo solo que .λ ( t ) k ( t ) = k ( t ) / c ( t ) e - ρ t ρ > $(5)$$\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$$e^{-\rho t}$$\rho>0$

Mis preguntas:

1) ¿Alguien puede ofrecer alguna idea aquí?

2) Estaría agradecido si alguien resolviera esto usando la Programación Dinámica y reportara los resultados.

ADENDA
Desde un punto de vista matemático, la diferencia crucial de este modelo es que la ley optimizada del movimiento del capital, eq. no incluye toda la salida como en el modelo estándar, sino solo los retornos al capital . Y esto sucede porque hemos separado los derechos de propiedad sobre el producto, lo cual es de esperar en el marco del "problema de maximización del negocio individual".f ( k ) f k$(2)$$f(k)$$f_kk$

Creo que el problema es que el estado estable puede no existir, y el sistema en cambio exhibe un crecimiento constante (dependiendo de los parámetros).

La razón es porque el modelo es equivalente al problema estándar de ahorro de consumo con una tasa de interés exógena y constante. Para ver eso, primero considere la condición de primer orden para la elección de trabajo (aquí, es una derivada parcial de wrt. th argumento). Usando la definición de rendimientos constantes, el producto marginal del trabajo es que es función de la relación capital-trabajo solamente. Si el salario es constante, el FOC laboral determina de manera única el óptimof i f i $f_2(k,\ell) = w$$f_i$$f$$i$k/ℓw

$$\frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$$ $k/\ell$relación en función del salario y otros parámetros. Dado que el producto marginal del capital también depende de , será constante a lo largo de la ruta óptima. Denote este valor del producto marginal , y denote el rendimiento neto de la depreciación . Las ecuaciones (1) - (2) para la dinámica del capital y el consumo son entonces y la solución específica que satisface la condición de transversalidad debería ser$w$k/ℓr∗r=r∗-δ ˙ c $$\frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$$ $k/\ell$$r^*$$r = r^* - \delta$ ct=ρk $$\begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split}$$ $c_t = \rho k_t$con dado, es decir, una parte constante de la riqueza se consume en cada momento. Tanto el capital como el consumo crecen a una tasa , por lo que no hay un estado estable a menos que el rendimiento del capital (que aquí depende de la tasa salarial exógena ) sea igual a la tasa de preferencia temporal. ( r - ρ ) $k_0$$(r-\rho)$$w$

Estoy publicando esto como una respuesta, porque continúa en la respuesta del usuario @ivansml ... que es la que identificó la captura aquí, una captura que ingenuamente he pasado por alto (aunque es un caso estrecho, mientras que el par interesante viene después. Sin embargo, debería haber sido tratado).

De hecho, con una tasa salarial exógena y una optimización perfectamente competitiva de la demanda laboral, el producto marginal del capital está determinado solo por los parámetros del modelo y por la tasa salarial. Para el caso simple en el que suponemos que la tasa salarial es constante, el análisis de @ivansml es válido: el modelo se convierte en uno de crecimiento endógeno : el producto marginal del capital es constante, que es lo que se necesita para el crecimiento endógeno, donde no existe Estado en niveles .

Denotando y , se pueden escribir las ecuaciones y del OP k = ˙ k /k(1)(2$\hat c = \dot c/c$$\hat k = \dot k /k$$(1)$$(2)$

k =fk-δ-c/

$$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$$ $$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$$

Como es constante, la tasa de crecimiento del consumo es constante: cero, positiva o negativa, según los parámetros y el salario. Por otro lado, diferenciando con respecto al tiempo que obtenemos ( 2 b $f_k$$(2b)$

$$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$$

y es obvio que para el crecimiento en estado estacionario queremos , que, a partir de se obtiene solo si . Es fácil verificar que, dado que , la única forma en que se mantendrá la condición de transversalidad es si el consumo y el capital crecen, o se reducen, a la misma tasa (o permanecen constantes). (2b)c=ρkλ(t)=c(t$\hat k = \hat c$$(2b)$$c = \rho k$$\lambda(t) = c(t)$

En los modelos de crecimiento endógeno propiamente dichos donde examinamos toda la economía, simplemente asumimos que los parámetros del modelo son tales que hay una tasa de crecimiento positiva, porque esto es lo que observamos en el mundo real. Pero aquí, solo tenemos un individuo. Entonces, ¿qué le estamos diciendo a nuestro empresario?

Si , la tasa de crecimiento es positiva, y tanto su consumo como su capital deberían crecer "para siempre", manteniendo una relación constante. Si , la tasa de crecimiento es cero, y ambas variables permanecen constantes para siempre. Si , la tasa de crecimiento es negativa, y deberíamos entrar en una espiral descendente de consumo y capital decrecientes (siempre manteniendo la relación ).$f_k-\delta -\rho >0$
$f_k-\delta -\rho =0$
$f_k-\delta -\rho <0$$c= \rho k$

Esto tiene cierta intuición, validando la idoneidad de la aplicación de Control Óptimo: dados los otros parámetros y la tasa salarial, cuanto mayor es la "impaciencia" (mayor es ), más posible es que el individuo experimente niveles de consumo decrecientes, ya que el futuro, y por lo tanto la inversión, no son de su agrado. Por supuesto, una espiral descendente monotónica puede no parecer muy realista como solución, pero este es un modelo muy estilizado, que proporciona tendencias esencialmente generales en un lenguaje matemático necesariamente altamente formal. $\rho$

La parte realmente interesante comenzará si consideramos un salario variable . Esto puede crear todo tipo de dinámicas interesantes y complicadas para nuestro pequeño empresario y sus decisiones de consumo e inversión.

Creo que la pregunta clave es si esta empresa es la única empresa en la economía. Si es así, ya no es correcto que tome según lo dado, ya que se verá afectado por su propia decisión de acumulación de capital. En este caso, debe realizar las sustituciones que realizó antes de la ecuación (2) mientras configura el Hamiltoniano. Por otro lado, si esta es una de las muchas empresas, de modo que la tasa salarial es exógena, entonces las sustituciones antes de la ecuación. (2) no son válidos. Creo que es necesario distinguir cuidadosamente entre Big- , la capital agregada de la economía, y poco- la capital elegida por este fabricante de decisión.$w$$w$$k$$k$