Implicaciones de la función de demanda diferenciable en las propiedades de la función de utilidad

Suponga que sabe que la función de demanda (marshalliana) que satisface el problema de maximización de la utilidad del consumidor es tal que siempre está bien definida para cada bien . En otras palabras, la función de demanda es diferenciable con respecto al ingreso.∂ x i ( p , m $x(p,m)$ i∈{1,...,L$\frac{\partial x_i(p,m)}{\partial m}$$i\in\{1,\dots,L\}$

¿Qué implica esto necesariamente sobre las propiedades de la función de utilidad ?$U(x_1,\dots,X_L)$

En el espacio ( cantidad, ingreso ), no ser diferenciable en todas partes significaría que observaríamos brechas, saltos discontinuos o torceduras, en el gráfico correspondiente de la función de demanda individual marshalliana.

GAPS: si hubiera una brecha, significaría que para un cierto rango de ingresos, la función de demanda no existe. En otras palabras, no está definido para un cierto rango de ingresos (pero aún está definido con respecto a los precios). Esto podría interpretarse que para este rango, el ingreso no afecta la cantidad demandada. Así que "diferenciable en todas partes" excluye tal fenómeno.

SALTOS DISCONTINUOS: Si hubiera un salto discontinuo, significaría que un nivel específico de ingresos induce un "efecto umbral" en la cantidad demandada. Por lo tanto, "diferenciable en todas partes" requiere que no existan tales efectos sobre la cantidad demandada.

PAREJAS: Si hubiera una torcedura, tendríamos un efecto umbral de "segundo orden", donde la cantidad demandada cambiaría a una tasa discontinua con respecto al ingreso. Así que "diferenciable en todas partes" excluye tales fenómenos.

Estos ahora deben ser "matemáticos" y proyectados nuevamente a las propiedades de la función de utilidad ( si es que son relevantes para ella).

Nota: En muchos problemas de maximización de servicios públicos, el ingreso no ingresa a la función de servicios públicos, pero es parte de las limitaciones del problema. En otros, postulamos una función de utilidad como una función bivariada de un bien e ingreso.