Diferenciación de la función de valor en Burdett Mortensen (1998)

Actualmente estoy abriéndome camino a través del clásico trabajo de Burdett y Mortensen sobre la búsqueda de empleo. Lo que debería ser una tarea fácil de encontrar una expresión para el salario de reserva se hace un poco más complicado por la presencia del operador máximo. Nos enfrentamos a la siguiente ecuación de Bellman para el valor de un trabajo que paga un salario $w$ . Las ecuaciones de botones son estándar. El valor de un trabajo que paga $w$ consiste en el salario $w$ más la ganancia esperada de buscar y encontrar un mejor trabajo descontado por la probabilidad de que una oferta de trabajo llegue a $\lambda_1$ más la pérdida por quedar desempleado cuando el trabajo se destruye a una tasa $\delta$ . El valor del desempleo $V_0$$b$$\lambda_0$$F$ r V 0 = b + λ 0 [ ∫ max { V 0 , V 1 ( ˜ x )

$$\begin{equation} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max\{V_1(w),V_1(\tilde{x})\}-V_1(w)\bigg]\;dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{equation}$$ V 1 ( w ) w V $$\begin{equation}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max\{V_0,V_1(\tilde{x})\}\;dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{equation}$$ $V_1(w)$$w$$V_0$es independiente de él, sabemos que existe un salario de reserva de tal manera que si , y . Los argumentos estándar (integración por partes) muestran que desde aquí me gustaría tomar la derivada de la primera ecuación y resolver . Sin embargo, si uso la regla de integración de Leibniz , necesito que el integrando sea diferenciable. El máximo de dos funciones continuas generalmente no es diferenciable cuando son iguales, por lo que tengo un problema. Si asumo que integro sobre todo entonces w < $w>R\implies V_1(w)>V_0$V 1 ( R ) = V 0 R - b = ( λ 0 - λ 1 ) ∫ ∞ R V ′ 1 ( ˜ $w<R\implies V_1(w)<V_0$$V_1(R)=V_0$ $$\begin{equation} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1'(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})]\;d\tilde{x} \end{equation}$$ $V_1'(w)$V1$\tilde{x}\geq w$$V_1(\tilde{x})\geq V_1(w)$ (ofertas salariales que inducirán a un trabajador a cambiar de trabajo) y el resultado sigue la regla de Leibniz. Pero hay salarios en la distribución que no serán aceptados y este derivado no se mantendrá. La derivada es Me imagino que Me falta algo, pero no estoy seguro de qué. Si alguien pudiera darme algún consejo, realmente lo agradecería. $$\begin{equation} V'(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{equation}$$

Cuando tomas la integral de un operador , creo que tienes que dividir la integral en dos integrales separadas con diferentes soportes en ellas.$\max_{\{\cdot\}}$

Incluso si su función de valor es complicada y no hay diferenciabilidad, solo necesita continuidad para la existencia de una solución para resolver el problema de optimización.

Aquí está mi intento, donde supongo un límite superior absoluto en el soporte de , , por simplicidad.$F$$F(\overline{w})=1$

Vuelva a escribir la primera ecuación como por la cual

$$\begin{equation} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{equation}$$ $$\begin{equation} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{II} \ . \end{equation}$$

Los términos y cancelan, por lo que la organización da Si aplicamos la regla de Leibniz 'know, obtenemos donde la última igualdad se deduce de . Resolver para da la solución deseada.$I$$II$

$$\begin{equation} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{equation}$$ F ( ¯ w ) = 1 V ′ 1 ( w $$\begin{equation} (\delta +r)V_1'(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1'(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1'(w)[1-F(w)] \ , \end{equation}$$ $F(\overline{w})=1$$V_1'(w)$