Propiedades de la relación de preferencia

Deje $\succeq$ ser una relación de preferencia en $X$ . ¿Es cierto que $x \succeq y$ si y solo si $\lnot (y \succ x)$ ?

Creo que es cierto y mi prueba es la siguiente. Probar $\implies$ dirección, tenemos $\lnot (y \succ x) \equiv \lnot(y \succeq x)$ o $x \succeq y$ . Entonces, si suponemos que $x \succeq y$ , entonces $\lnot (y \succ x)$ es verdadero. Probar $\impliedby$ dirección, suponga que $\lnot (y \succ x)$ es verdadero. Entonces, ya sea $\lnot(y \succeq x)$ o $x \succeq y$ . Si $x \succeq y$ entonces hemos terminado. Si $\lnot(y \succeq x)$ , entonces dado que $\succeq$ es una relación de preferencia, debe estar completa, lo que implica $x \succeq y$ .

¿Es correcta mi prueba? Además, en general, solo quiero preguntar, ¿es cierto que siempre que tengamos una relación de preferencia $\succeq$ , en lugar de probar todos estos hechos, podemos pretender "informalmente" que $\succeq$ es como la desigualdad $\ge$ , y todo funciona de manera análoga? Por ejemplo, podríamos probar que $\lnot (x \sim y)$ si y solo si $x \succ y$ o $y \succ x$ , pero si solo quisiéramos deducir este hecho sin demostrarlo, podemos verlo claramente desde $\lnot(x=y)$ si y solo si $x>y$ o $y>x$ .

mathematical-economics preferences

— usuario40333
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Bienvenido a Econ.SE. Tengo la sensación de que esto es un duplicado. Aquellos con más experiencia en estas preguntas podrían encontrar uno. No estoy muy familiarizado con el tema. Tal vez este ?

— luchonacho

\neg (y ≻ x) \equiv \neg (y ⪰ x)

$\lnot (y \succ x) \equiv \lnot(y \succeq x)$

x ⪰ y

$x \succeq y$

\neg (y ≻ x) ⟹ \neg (y ≻ x)

$\lnot (y \succ x) \implies \lnot (y \succ x)$

≿

$\succsim$

x

$x$

≿

$\succsim$

\geq

$\ge$

@KitsuneCavalry: En cuanto al punto que planteaste, creo que OP lo entendió correctamente. Estrictamente preferencia se define como ; entonces la negación es exactamente lo que OP escribió .

≻

$\succ$

y ≻ x \equiv y ≿ x and \neg (x ≿ y)

$y\succ x \equiv y\succsim x \text{ and } \lnot(x\succsim y)$

\neg (y ≻ x)

$\lnot(y\succ x)$

\neg (y ≿ x) or x ≿ y

$\lnot(y\succsim x)\text{ or }x\succsim y$

— Herr K.

Si definimos en como la primitiva, entonces la relación de preferencia estricta se deriva como $\succeq$ $X$

x ≻ y \Leftrightarrow x ⪰ y but not y ⪰ x .

$x\succ y ~\Leftrightarrow~ x\succeq y ~\text{ but not }~ y\succeq x.$

Tenga en cuenta que puede ver esto como una definición de . Ahora demostramos iff not : $\succ$ $y\succeq x$ $x\succ y$

$(\Rightarrow)$ Si , por definición, no es cierto; $y\succeq x$ $x\succ y$

$(\Leftarrow)$ Si no es , entonces solo hay tres posibilidades: (i) y ; (ii) no pero ; y (iii) ni ni . El caso (iii) puede descartarse si asumimos que la integridad de . Por lo tanto, tanto en (i) como en (ii), tenemos . $x\succ y$ $x\succeq y$ $y\succeq x$ $x\succeq y$ $y\succeq x$ $x\succeq y$ $y\succeq x$ $\succeq$ $y\succeq x$

Vale la pena mencionar que Kreps (1990) presenta otro enfoque para definir las relaciones de preferencia en . Toma como primitivo y luego deriva la relación de preferencia débil como: $X$ $\succ$

x ⪰ y \Leftrightarrow not y ≻ x .

$x\succeq y ~\Leftrightarrow~ \text{not }~ y\succ x.$

En este caso, no hay necesidad de probar la equivalencia ya que es una definición.

— Ziwei Wang
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