Derivación matemática de la frontera de posibilidades de producción
Respuestas:
La pregunta es amplia, pero creo que hay mucha literatura que define este concepto en términos igualmente amplios. Lo siguiente está adaptado de la Wikipedia en Eficiencia de Pareto , que es la base matemática de la Frontera de posibilidades de producción.
Puede haber mejores definiciones por ahí, pero esta probablemente debería funcionar en muchos casos:
los Frontera de posibilidades de producción , $ P (Y) $, puede describirse más formalmente de la siguiente manera. Considere un sistema con la función $ f: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} ^ m $, donde $ X $ es un espacio compacto de decisiones factibles (incluidas las asignaciones de bienes de tiempo y dotaciones) en el espacio métrico $ \ mathbb {R} ^ n $, y $ Y $ es el conjunto viable de vectores de criterios (por ejemplo, bienes y servicios finales) en $ \ mathbb {R} ^ m $, de manera que $ Y = \ {y \ in \ mathbb {R} ^ m: \; y = f (x), x \ en X \; \} $.
Suponemos que las direcciones preferidas de los valores de los criterios son conocidas, de modo que más de cualquier bien en $ Y $ es mejor. Un punto $ y ^ {\ prime \ prime} \ in \ mathbb {R} ^ m $ domina estrictamente otro punto $ y ^ {\ prime} \ in \ mathbb {R} ^ m $, escrito como $ y ^ {\ prime \ prime} & gt; y ^ {\ prime} $, significa que para cada índice de elemento $ i $, $ y '' _ i \ geq y'_i $ y hay al menos un elemento $ j $ tal que $ y_j '' & gt; y_j '$. La frontera de Pareto se escribe así:
$ P (Y) = \ {y ^ \ prime \ en Y: \; \ {y ^ {\ prime \ prime} \ en Y: \; y ^ {\ prime \ prime} & gt; y ^ \ prime, y ^ {\ prime \ prime} \ neq y ^ \ prime \; \} = \ emptyset \}. PS
Tenga en cuenta que no siempre es posible encontrar una expresión algebraica para el PPF.
Un contexto donde normalmente se encuentra el PPF es en un modelo de 2x2, donde hay dos sectores o bienes ($ x $ y $ y $) y dos factores de producción ($ K $ y $ L $). La forma del PPF depende de la intensidades relativas en el que cada sector / bien utiliza esos factores.
Por ejemplo, suponga que cada sector $ j $ tiene una función de producción de CRS $ F_j (K_j, L_j) $, con diferentes parámetros tecnológicos. Asumamos también una dotación fija de factores de producción, movilidad de factores completa entre sectores y mercados competitivos, de modo que el pago de factores de producción se ajuste libremente para asignar factores a los sectores. Además, asuma el precio de los bienes fijos, por ejemplo, Como si la economía fuera pequeña y abierta a los mercados internacionales.
Para un conjunto dado de precios de factores relativos, $ r / w $, comunes a ambos sectores, los factores relativos óptimos en cada sector vienen dados por:
$$ \ dfrac {\ frac {\ parcial F_x} {\ parcial K_x}} {\ frac {\ parcial F_x} {\ parcial L_x}} = \ frac {r} {w} = \ dfrac {\ frac {\ parcial F_y} {\ parcial K_y}} {\ frac {\ parcial F_y} {\ parcial L_y}} $$
La primera fracción anterior es una función de $ \ frac {K_x} {L_x} $, mientras que la última fracción es una función de $ \ frac {K_y} {L_y} $. Dado que por definición $ L_x + L_y = L $ y $ K_x + K_y = K $, tenemos un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas. Esto significa que podemos reducir el sistema a una ecuación con dos incógnitas. Si esta ecuación produce una solución de forma cerrada para una variable en términos de la otra (por ejemplo, $ L_x = f (K_x $) depende de la forma funcional de $ F_j $. Aparentemente, esto solo es posible en el caso de funciones de producción triviales como Cobb-Douglas o Leontief (para un ejemplo de la primera, ver aquí ).
Suponiendo que podamos encontrar dicha ecuación $ L_x = f (K_x $), la solución algebraica para el PPF sigue inmediatamente. Esto se debe a que ha reducido los cuatro términos de pecado de la variable de dotación de solo uno (por ejemplo, $ K_x $). Por lo tanto, para encontrar el PPF puede evaluar $ F_x $ y $ F_y $ por cada valor posible de $ K_x $, y dibujar el mapa. Alternativamente, puede resolver la ecuación homogénea $ x-F_x (K_x) = 0 $ para $ K_x $ como una función de $ x $, y luego reemplazar este $ K_x ^ * (x) $ en $ F_y $, desde donde obtenga $ y = f (x) $, teniendo en cuenta las restricciones en el espacio variable (es decir, $ x, y & gt; 0 $). Observe nuevamente que no siempre es posible resolver la ecuación homogénea anterior. Para un ejemplo donde es posible, vea el enlace de arriba. El PPF podría verse como:
Para cerrar el modelo, la forma en que se encuentra el equilibrio real depende de los precios internacionales, donde el MRS es tangente al PPF. Alternativamente, en una economía cerrada, el isoquant de preferencias del consumidor proporciona el MRS.
Para complementar el comentario de @jmbejara sobre la relación entre la PPF y la optimalidad de Pareto, observe que la condición de que MRTS es igual a los precios relativos de los factores es exactamente la definición de la optimalidad de Pareto en un contexto de producción. Podemos ver esto en la caja de Edgeworth. Para las funciones de producción estándar, los isoquants para cada bien son funciones convexas en el espacio $ \ {K, L \} $. Podemos ver la caja de Edgeworth de esta economía:
El ejemplo anterior es claramente ineficiente, ya que los salarios relativos pueden ajustarse hasta que el MRTS sea el mismo en todos los productos. En efecto, la asignación óptima es:
Supongamos que sólo hay dos bienes. El precio de Y definido por la cantidad de X y el precio de Y se definen por X respectivamente. Luego, al asumir una cantidad fija de recursos de producción (por ejemplo, trabajo y capital), se podría obtener el PPF. En este contexto, las funciones de costo deben definirse como una función de otros productos. Aquí podríamos usar X como producto básico, la función de posibilidad de producción general podría escribirse como $ Q = c (x, y) $ y $ y = f (x) $ entonces, una diferenciación total podría resolver el problema. $$ dQ = MC_x dx + MC_y {\ frac {dy} {dx}} dx $$ $ dQ = 0 $ por lo tanto, $$ \ frac {dy} {dx} = - \ frac {MC_x} {MC_y} $$
Los detalles son aquí .