Problemas con una aplicación de utilidades internas y marginales definidas

Voy a exponer el problema sin mucho contexto porque es una cuestión de matemática que estoy haciendo, en lugar de un concepto económico específico.

Condición. Estoy tratando de demostrar esto.

V (q_{l}) - θ_{l} * q_{l} > V (q_{h}) - θ_{h} * q_{h}

$V(q_l) - \theta_l*q_l > V(q_h) - \theta_h*q_h$

q_{l} > q_{h}

$q_l>q_h$

θ_{l} < θ_{h}

$\theta_l < \theta_h$

V^{'} () > 0

$V'() > 0$

V^{″} < 0

$V'' < 0$

V^{'} (q_{l}) = θ_{l}

$V'(q_l) = \theta_l$

V^{'} (q_{h}) = θ_{h}

$V'(q_h) = \theta_h$

Estoy tratando de usar integrales definidas para probar esto. Pero creo que estoy haciendo algo fundamentalmente mal aquí.

\int_{0}^{q_{i}} V^{'} (q) d q = \int_{0}^{q_{i}} θ_{i}

$\int_0^{q_i} V'(q)dq = \int_0^{q_i} \theta_i$

V (q_{i}) - V (0) = θ_{i} * q_{i}

$V(q_i) - V(0) = \theta_i*q_i$

Esto da dos ecuaciones, una para cada . Restando estas dos ecuaciones entre sí. $q_l, q_h$

V (q_{l}) - V (q_{h}) = θ_{l} * q_{l} - θ_{h} * q_{h}

$V(q_l) - V(q_h) = \theta_l*q_l -\theta_h*q_h$

Definitivamente estoy haciendo algo mal aquí. ¿Alguna ayuda?

consumer-surplus

— usuario795028
fuente

El error que está cometiendo parece ser tratar a como una variable, mientras que en realidad es un valor específico de la derivada. $\theta_i$

Entonces

\int_{0}^{q_{i}} V^{'} (q) d q = \int_{0}^{q_{i}} θ_{i} d q i = l, h

$\int_0^{q_i} V'(q)dq = \int_0^{q_i} \theta_i dq \;\;\; i=l,h$

está mal, ya que es igual a evaluado solo en (e igual a evaluado solo en ). $V'(q)$ $\theta_l$ $q_l$ $\theta_h$ $q_h$

— Alecos Papadopoulos
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