¿Es posible derivar curvas de indiferencia dada la función de demanda marshalliana?

En un mundo de dos buenos, ¿funcionará una demanda marshalliana como D(p,m)donde p es el precio de un bien ym el ingreso producirá una función de utilidad o una función de curva de indiferencia? Si es así, ¿cómo se soluciona esto?

Si, bajo algunas condiciones. Este es el clásico problema de integrabilidad : para una discusión detallada, vea algunas notas excelentes de Kim Border .

Se requieren varias otras condiciones técnicas, pero la condición más sustantiva económicamente es que la matriz de Slutsky siempre debe ser simétrica y semidefinida negativa. Para ser concretos, si definimos el elemento de la matriz de Slutsky en como entonces debemos tener para todos , y también para cualquier vector que debemos tener para todos La necesidad( p , m ) σ i j ( p , m ) = ∂ D i ( p , m $ij$$(p,m)$

$$\sigma_{ij}(p,m)=\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial p_j}+D_j(p,m)\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}$$ $\sigma_{ij}(p,m)=\sigma_{ji}(p,m)$$(p,m)$$v$$(p,m)$ $$\sum_i \sum_j \sigma_{ij}(p,m)v_iv_j \leq 0$$ de estas condiciones se deduce inmediatamente de la teoría básica del consumidor, que muestra que si la demanda marshalliana se deriva de la maximización restringida de una función de utilidad, entonces la matriz de Slutsky es simétrica y semidefinida negativa. Pero la suficiencia de estas condiciones (junto con algunas otras suposiciones técnicas) para que retrocedamos una función de utilidad es un asunto más complicado, y para obtener los detalles, recomiendo las notas de Border o alguna otra micro fuente avanzada.

Si, suponiendo que se cumplan las condiciones de Slutsky , desea una forma práctica aproximada (ignorando las sutilezas técnicas) para hacer retroceder las curvas de indiferencia en el caso típico de dos buenos, la forma más simple es probablemente usar su conocimiento de la demanda para determinar el cambio compensatorio en gastos que es necesario ajustar para un cambio dado en los precios. Específicamente, para use la identidad que, dado el conocimiento de la función de demanda Marshall , es una ecuación diferencial en la función de gasto . Comenzando con algunos valores iniciales que producen alguna utilidad desconocida$i=1,2$

$$\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u) = D_i(p,e(p,u))$$ $D$$e$$(\bar{p},\bar{m})$$\bar{u}$, sabemos que . Luego, variando , podemos integrar la ecuación diferencial anterior para para obtener para cualquier . Y luego podemos obtener el vector de demanda hicksiano para cualquier .$e(\bar{p},\bar{u})=\bar{m}$$p_1$$i=1$$e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})$$p_1$ $$h(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})=D(p_1,\bar{p}_2,e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u}))$$ $p_1$

Dado que todas estas demandas Hicksianas corresponden a la misma utilidad , están en la misma curva de indiferencia. Al variar , podremos rastrear muchos puntos diferentes en esta curva de indiferencia. De hecho, si la demanda se comporta suficientemente bien, entonces podemos rastrear toda la curva de indiferencia variando suficiente en cualquier dirección. (Por cierto, "trazar curvas de indiferencia" es todo lo que podemos hacer en cualquier caso: dado que la cardinalidad de la utilidad es irrelevante para la demanda marshalliana, solo podemos recuperar propiedades ordinales como las curvas de indiferencia y su ordenación).$\bar{u}$$p_1$$p_1$