Ayuda con una elección bajo ejercicio de incertidumbre [cerrado]

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Supongamos que y son funciones de utilidad (no necesariamente VNM) que representan en . Demuestre que es una transformación afín positiva de si y solo si para todas las apuestas en , sin dos indiferentes, tenemos: $u$ $v$ $\succsim$ $\mathcal{G}$ $v$ $u$ $g^1, g^2, g^3$ $\mathcal{G}$

$\frac{u(g^1)-u(g^2)}{u(g^2)-u(g^3)} =\frac{v(g^1)-v(g^2)}{v(g^2)-v(g^3)}$

He tratado de resolverlo, pero no estoy seguro de por dónde empezar. ¿Alguien que me dio una pista?

microeconomics uncertainty

— Andrea FL
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Supongamos que para es decir, es una transformación afín positiva de , entonces $v=\alpha + \beta u$ $\beta > 0$ $v$ $u$

\frac{v (g^{1}) - v (g^{2})}{v (g^{2}) - v (g^{3})} = \frac{α + β u (g^{1}) - α - β u (g^{2})}{α + β u (g^{2}) - α - β u (g^{3})} = \frac{u (g^{1}) - u (g^{2})}{u (g^{2}) - u (g^{3})}

$\frac{v(g^1) - v(g^2)}{v(g^2) - v(g^3)} = \frac{\alpha + \beta u(g^1) - \alpha - \beta u(g^2)}{\alpha + \beta u(g^2) - \alpha - \beta u(g^3)} = \frac{u(g^1) - u(g^2)}{u(g^2) - u(g^3)}$

Converse no es cierto porque también satisface $v=-u$

\frac{v (g^{1}) - v (g^{2})}{v (g^{2}) - v (g^{3})} = \frac{u (g^{1}) - u (g^{2})}{u (g^{2}) - u (g^{3})}

$\frac{v(g^1) - v(g^2)}{v(g^2) - v(g^3)} = \frac{u(g^1) - u(g^2)}{u(g^2) - u(g^3)}$

para todos los . $g_1, g_2, g_3\in\mathcal{G}$

Agregado más tarde

Por cierto, conversar también es cierto. Se nos da esta información que y representan . Entonces, no es un ejemplo válido ya que ambos no pueden representar . $u$ $v$ $\succsim$ $v=-u$ $\succsim$

Aquí está la prueba de lo contrario:

Fijar cualesquiera dos loterías y tal que y, en consecuencia, . Para cualquier lotería , sabemos que lo siguiente es cierto $b$ $w$ $u(b) > u(w)$ $v(b) > v(w)$ $g\in\mathcal{G}$

\frac{v (g) - v (w)}{v (w) - v (b)} = \frac{u (g) - u (w)}{u (w) - u (b)}

$\frac{v(g) - v(w)}{v(w) - v(b)} = \frac{u(g) - u(w)}{u(w) - u(b)}$

Entonces, o equivalente,

v (g) = v (w) + (v (w) - v (b)) \frac{u (g) - u (w)}{u (w) - u (b)}

$v(g) = v(w) + (v(w) - v(b))\frac{u(g) - u(w)}{u(w) - u(b)}$

\begin{array}{rcl} v (g) & = & v (w) - \frac{v (w) - v (b)}{u (w) - u (b)} u (w) + \frac{v (w) - v (b)}{u (w) - u (b)} u (g) \\ = & (\frac{u (w) v (b) - v (w) u (b)}{u (w) - u (b)}) + (\frac{v (w) - v (b)}{u (w) - u (b)}) u (g) \end{array}

$\begin{eqnarray*} v(g) & = & v(w) - \frac{v(w) - v(b)}{u(w) - u(b)}u(w)+ \frac{v(w) - v(b)}{u(w) - u(b)}u(g) \\ & = & \left(\frac{u(w)v(b) - v(w)u(b)}{u(w) - u(b)}\right)+ \left(\frac{v(w) - v(b)}{u(w) - u(b)}\right)u(g) \end{eqnarray*}$

Por lo tanto, where y . $v = \alpha + \beta u$ $\displaystyle\alpha = \frac{u(w)v(b) - v(w)u(b)}{u(w) - u(b)}$ $\displaystyle\beta = \frac{v(w) - v(b)}{u(w) - u(b)} > 0$

— Amit
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Un micro curso de maestría / doctorado se le está subcontratando.

— Giskard

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Bueno, la parte "si" es ciertamente sencilla. Haga v = a + bu donde b> 0. Las a se cancelan mediante resta en cada numerador y denominador; Una vez hecho esto, las b se cancelan en numerador y denominador.

La parte "solo si" es un poco más difícil.

— David Croson
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